El tiempo como grado de libertad de giro interno de las cuerdas

Resumen

Esta tesis desarrolla, formaliza, cuantifica y somete a contraste una hipótesis concreta sobre el origen microscópico del ritmo del tiempo propio: que las cuerdas fundamentales poseen un grado de libertad interno de «giro» —al que llamaremos twin— cuyo valor esperado promediado se comporta como un campo escalar acoplado conformemente a la materia, y cuya variación con la curvatura y con la expansión cósmica modula el ritmo al que avanzan todos los relojes materiales.

El punto de partida es el ansatz multiplicativo propuesto en el preprint v7,

con cuatro parámetros libres \((\kappa,\xi,\chi,p)\). La tesis hace cinco aportaciones que el preprint original no contenía.

Primera. Se deriva la forma funcional del ansatz, en lugar de postularla. Partiendo de una acción escalar-tensorial con acoplo conforme \(A(\theta)\) y un mecanismo de atractor del tipo Damour–Polyakov, se demuestra que \(\beta_{\rm loc}(r)=1-\kappa\left(1-e^{-2\xi\Phi}\right)\) es la solución exacta de la ecuación de flujo \(d\alpha/d\Phi=-2\xi\,\alpha\) para el acoplo efectivo, con \(\alpha(\Phi)=2\kappa\xi e^{-2\xi\Phi}\). El exponencial no es decorativo: codifica un apantallamiento del acoplo en potenciales profundos, lo que convierte a \(\kappa\) y \(\xi\) en cantidades con significado físico —amplitud conforme total y tasa de relajación al atractor— y no en meros ajustes.

Segunda. Se establece y demuestra el teorema de degeneración (§10.2): un factor multiplicativo universal sobre \(d\tau/dt\) es calibre puro, absorbible en la definición de la unidad de tiempo. En consecuencia, ni \(\kappa\) sola ni \(\chi\) sola son observables. Lo observable en campo débil es el producto \(\kappa\xi\) —que coincide con la mitad del parámetro de violación de la invariancia posicional local, \(\alpha_{\rm LPI}=2\kappa\xi\)— y, en cosmología, únicamente la parte no universal de \(\beta_{\rm cos}\). Este resultado reduce el espacio de parámetros efectivo de cuatro a dos y reorienta por completo el programa experimental.

Tercera. Se identifica y corrige un artefacto numérico que invalidaba la interpretación de las tablas del preprint v7. Las columnas «\(\Delta\tau=0{,}0\)» para la Tierra y el Sol no expresaban una predicción de nulidad, sino la pérdida total del resultado por cancelación catastrófica en coma flotante binary64: la señal buscada, \(\sim\!10^{-16}\,\)s/día, cae unos cinco órdenes de magnitud por debajo del último bit representable de \(86\,400\) s (\(\mathrm{ULP}\approx1{,}9\times10^{-11}\,\)s). Recalculada en forma cerrada y verificada con aritmética decimal de 60 dígitos, la predicción terrestre correcta es \(\Delta\tau=-1{,}2029\times10^{-7}\) ns/día al nivel del mar, no cero.

Cuarta. Se derivan cotas cuantitativas sobre el espacio de parámetros a partir de experimentos reales. Los satélites Galileo GSAT0201/0202 en órbita excéntrica imponen \(\kappa\xi<9{,}5\times10^{-6}\); la misión ACES/PHARAO, operativa en la Estación Espacial Internacional desde abril de 2025, alcanzará \(\kappa\xi<10^{-6}\); la dilatación temporal cosmológica medida en 1504 supernovas de tipo Ia del Dark Energy Survey acota el producto \(\varepsilon\chi<3{,}0\times10^{-2}\), donde \(\varepsilon\) mide la ruptura de universalidad y se anula bajo los propios postulados del modelo. Se construye la región de exclusión completa en el plano \((\xi,\kappa)\), incluida una zona ciega para \(\xi\gtrsim10^{9}\) donde el apantallamiento terrestre anula toda sensibilidad.

Quinta. Se propone un experimento decisivo, se calcula su viabilidad y se identifica el sistemático que la limita. Una comparación de reloj óptico entre 1 UA y 10 radios solares produce una señal fraccional \(S=4{,}05\times10^{-19}\), alcanzable estadísticamente a \(5\sigma\) en \(\sim\!216\) días con la estabilidad demostrada de un reloj de ion \(^{27}\)Al\(^{+}\). Se demuestra, sin embargo, que en el régimen no apantallado la señal es exactamente degenerada con un reescalado de \(GM_\odot\), lo que impone un suelo \(\sigma(\alpha_{0})\simeq7\times10^{-11}\) fijado por las efemérides planetarias. La degeneración se rompe para \(\xi\gtrsim2{,}5\times10^{6}\), donde la dependencia radial deja de ser \(1/r\); y el observable adimensional \(\mathcal{R}=\alpha(\Phi_1)/\alpha(\Phi_2)\) es inmune a ella. El experimento es, por tanto, decisivo sobre el mecanismo de apantallamiento en cualquier caso, y sobre la amplitud fiducial si \(\xi\) es grande o si las efemérides mejoran en dos órdenes de magnitud.

La tesis concluye que el modelo twin, correctamente formulado, es internamente consistente, compatible con toda la evidencia disponible y falsable, pero que con los valores fiduciales propuestos es indistinguible de la Relatividad General con la tecnología actual por entre seis y ocho órdenes de magnitud, según el observable. Se identifican dos patologías estructurales que exigen revisión: el ansatz de potencia \(\beta_{\rm cos}=1-\chi a^{p}\) se anula en un factor de escala finito \(a_{\rm fin}=\chi^{-1/p}\), y el sector cosmológico carece de contenido empírico mientras el acoplo permanezca universal. El capítulo 20 trata la conjetura de conservación multiversal del twin como lo que es —una construcción metafísica no falsable— y la separa explícitamente del núcleo científico del trabajo.

Abstract

This thesis develops, formalises, quantifies and confronts with data a specific hypothesis on the microscopic origin of the rate of proper time: that fundamental strings carry an internal "spin" degree of freedom —the twin— whose coarse-grained expectation value behaves as a scalar field conformally coupled to matter, and whose variation with curvature and with cosmic expansion modulates the rate of all material clocks.

Starting from the multiplicative ansatz of preprint v7, five contributions are made. (i) The functional form of \(\beta_{\rm loc}\) is derived from a scalar–tensor action with a Damour–Polyakov attractor, rather than postulated: it is the exact solution of the coupling flow equation \(d\alpha/d\Phi=-2\xi\alpha\), with a running local-position-invariance parameter \(\alpha(\Phi)=2\kappa\xi e^{-2\xi\Phi}\). (ii) A degeneracy theorem is proved: a universal multiplicative factor on \(d\tau/dt\) is pure gauge, so only the product \(\kappa\xi\) and the non-universal part of \(\beta_{\rm cos}\) are observable, reducing the effective parameter space from four to two. (iii) A numerical artefact in v7 is identified and corrected: the reported zero signals for Earth and Sun were catastrophic cancellation in binary64, not a physical null; the correct sea-level prediction is \(-1.2029\times10^{-7}\) ns/day. (iv) Quantitative bounds are derived from real experiments (Galileo eccentric satellites, ACES/PHARAO, DES-SN5YR supernova time dilation), yielding \(\kappa\xi<9.5\times10^{-6}\) and \(\varepsilon\chi<3.0\times10^{-2}\), together with the full exclusion region in the \((\xi,\kappa)\) plane and its blind zone at \(\xi\gtrsim10^{9}\). (v) A decisive experiment is proposed and its limiting systematic identified: an optical-clock comparison between 1 au and 10 solar radii yields \(S=4.05\times10^{-19}\), statistically reachable at \(5\sigma\) in \(\sim\)216 days with a demonstrated \(^{27}\)Al\(^{+}\) clock, but exactly degenerate with a rescaling of \(GM_\odot\) in the unscreened regime — a degeneracy broken either by the radial shape for \(\xi\gtrsim2.5\times10^{6}\) or by the dimensionless ratio \(\mathcal{R}=\alpha(\Phi_1)/\alpha(\Phi_2)\), which is immune to it.

The model is found to be internally consistent, empirically viable and falsifiable, yet observationally indistinguishable from General Relativity by six to eight orders of magnitude at its fiducial parameters. Two structural pathologies are identified and discussed.

Palabras clave

Tiempo propio · invariancia posicional local · corrimiento al rojo gravitatorio · teorías escalar-tensoriales · acoplo conforme · mecanismo de Damour–Polyakov · apantallamiento · relojes ópticos · GNSS · ACES/PHARAO · dilatación temporal cosmológica · teoría de cuerdas · formalismo PPN · falsabilidad.

Keywords: proper time · local position invariance · gravitational redshift · scalar–tensor theories · conformal coupling · Damour–Polyakov mechanism · screening · optical clocks · GNSS · ACES/PHARAO · cosmological time dilation · string theory · PPN formalism · falsifiability.

Notación, convenios y advertencia epistemológica

Convenios

Se emplea la signatura métrica \((-,+,+,+)\) y unidades del Sistema Internacional salvo indicación explícita. Los índices griegos \(\mu,\nu,\dots\) recorren \(0,1,2,3\); los latinos \(i,j,\dots\), las tres direcciones espaciales. Se usa el convenio de suma de Einstein. El tensor de Riemann se define como \(R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_\mu\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}-\dots\) y el de Ricci como \(R_{\mu\nu}=R^{\rho}{}_{\mu\rho\nu}\), de modo que \(R>0\) para una esfera.

Las constantes físicas se toman de CODATA 2018 y de las resoluciones IAU 2015: \(c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) (exacta), \(G=6{,}674\,30\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\), \(GM_\oplus=3{,}986\,004\,418\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}\), \(GM_\odot=1{,}327\,124\,400\,18\times10^{20}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}\), \(R_\odot=6{,}957\times10^{8}\ \mathrm{m}\), \(\mathrm{UA}=1{,}495\,978\,707\times10^{11}\ \mathrm{m}\) (exacta). El día se toma como \(86\,400\) s SI nominales.

Advertencia epistemológica

Historial de revisión

Este documento ha pasado por dos rondas de revisión crítica interna, documentadas en el fichero INFORME_REVISION.md que lo acompaña. Se deja constancia porque los hallazgos de esas rondas modificaron conclusiones sustantivas, y ocultarlos falsearía el proceso.

Dos correcciones merecen mención explícita por su magnitud. Primera: la afirmación de que la misión solar «decide sobre el valor fiducial en 216 días» era estadísticamente correcta pero sistemáticamente incompleta; el suelo real lo fija el conocimiento de \(GM_\odot\), y la conclusión hubo de condicionarse. Segunda: la velocidad orbital de la sonda estaba mal por un factor 3,6 (confusión entre km/h y km/s), error que —paradójicamente— jugaba en contra de la propuesta y cuya corrección la hace más viable.

Introducción: el problema del ritmo del tiempo

La Relatividad General nos dice cuánto varía el ritmo de un reloj con la gravedad, pero no por qué un reloj tiene ritmo. Esta tesis explora una respuesta posible a la segunda pregunta y, sobre todo, examina si esa respuesta puede llegar a ser algo más que una narración.

1.1 Una asimetría explicativa en la física del tiempo

La Relatividad General es, en su formulación estándar, una teoría del intervalo. Dado un campo métrico \(g_{\mu\nu}\), el tiempo propio a lo largo de una línea de universo se define como \(d\tau^2=-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu/c^2\), y el postulado de los relojes Misner, Thorne y Wheeler, 1973 afirma que un reloj ideal mide exactamente esa cantidad. El postulado es extraordinariamente exitoso: sostiene la corrección relativista del sistema GPS, predice el corrimiento al rojo gravitatorio con una precisión de partes en \(10^{5}\) y ha sobrevivido a todos los tests de precisión concebidos en un siglo.

Pero es, estrictamente, un postulado. La Relatividad General no explica por qué un átomo de estroncio oscila a \(429\,228\,004\,229\,873\) Hz en su propio marco, ni por qué esa frecuencia es la misma para todos los átomos de estroncio del universo, ni qué mecanismo microscópico acopla esa frecuencia a la geometría. La teoría toma la existencia de relojes como dato y describe cómo la geometría los sincroniza entre sí. Existe, en ese sentido, una asimetría explicativa: la geometría es dinámica y explicada; el ritmo es cinemático y supuesto.

Esta asimetría no es un defecto de la Relatividad General —es el precio de su generalidad, y su fortaleza—, pero sí es una invitación legítima a preguntar qué habría debajo. La respuesta ortodoxa es que el ritmo lo fija la física atómica, es decir, las constantes fundamentales \(\alpha_{\rm em}\), \(m_e/m_p\), \(\Lambda_{\rm QCD}\); y que las constantes son constantes. La pregunta se traslada entonces al terreno donde efectivamente se investiga hoy: ¿son constantes las constantes? Uzan, 2011

1.2 La hipótesis del twin

La hipótesis que esta tesis desarrolla fue formulada por Gustavo Martos Ferri en 2025 Martos Ferri, 2025. Su contenido, despojado del formalismo, es el siguiente:

Traducido a una ecuación, el preprint v7 propone la estructura multiplicativa

con

El primer factor es la Relatividad General intacta. El segundo describe una atenuación local del ritmo que crece con la profundidad del pozo gravitatorio y satura en \(1-\kappa\) cuando \(\xi\Phi\gg1\). El tercero describe una atenuación global que crece con el factor de escala, es decir, con la edad del universo.

1.3 Por qué esta hipótesis merece un tratamiento serio

Una hipótesis no convencional merece atención cuando cumple tres condiciones: es precisa, es parametrizable y es refutable. La hipótesis del twin cumple las tres, y ello la distingue de la mayoría de las especulaciones sobre la naturaleza del tiempo que circulan fuera de la literatura revisada.

Es precisa porque la ecuación (1.2) no admite ambigüedad: dados \((\kappa,\xi,\chi,p)\) y una configuración gravitatoria, el ritmo queda determinado unívocamente. No hay apelación a «interpretaciones». Es parametrizable porque los cuatro parámetros son números reales acotados con significado dimensional claro. Es refutable porque predice una desviación respecto de la Relatividad General que, medida con suficiente precisión, o bien aparece o bien no aparece.

Existe además una razón sustantiva. La estructura de (1.2) no es arbitraria: reproduce, con otra notación, la fenomenología de una clase de teorías escalar-tensoriales que sí se estudian activamente —teorías con acoplo conforme y mecanismo de apantallamiento— y que aparecen de forma natural en compactificaciones de teoría de cuerdas Damour y Polyakov, 1994. El capítulo 7 hace explícita esa correspondencia. En otras palabras: la hipótesis del twin, formulada de manera independiente y con vocabulario propio, cae dentro de un espacio teórico bien explorado. Eso no la hace correcta, pero la hace evaluable con herramientas existentes, que es exactamente lo que esta tesis explota.

1.4 Preguntas de investigación

El trabajo se organiza en torno a seis preguntas explícitas.

1.5 Metodología

La metodología combina cuatro registros.

(a) Reconstrucción teórica. Se parte del ansatz publicado y se busca hacia atrás una acción que lo genere. El criterio de éxito no es la elegancia sino la economía: si la acción necesaria requiere más estructura ad hoc que el propio ansatz, la reconstrucción fracasa. Se demuestra en el capítulo 7 que no es el caso.

(b) Análisis de degeneraciones. Antes de calcular nada se determina qué combinaciones de parámetros son observables. Este paso, sistemáticamente omitido en propuestas amateur, es el que más contenido elimina y el que más contenido válido salva. Ocupa el capítulo 10.

(c) Cómputo numérico verificado. Todos los valores se calculan con aritmética decimal de 60 dígitos significativos y se verifican por dos vías algebraicamente independientes. La razón es concreta y se documenta en el capítulo 11: el cálculo original en coma flotante de doble precisión perdía enteramente la señal, y las tablas publicadas contenían ceros que no eran físicos.

(d) Contraste con datos reales. Se emplean resultados publicados y revisados por pares —no simulaciones propias— para acotar el espacio de parámetros: los satélites Galileo en órbita excéntrica Delva et al., 2018 Herrmann et al., 2018, la misión ACES/PHARAO Cacciapuoti et al., 2020, el test del principio de equivalencia débil de MICROSCOPE Touboul et al., 2022, la dilatación temporal de 1504 supernovas del Dark Energy Survey White et al., 2024 y la de 190 cuásares Lewis y Brewer, 2023.

1.6 Contribuciones originales

Frente al preprint v7, este documento aporta:

1. Derivación lagrangiana de \(\beta_{\rm loc}\) como solución de la ecuación de flujo del acoplo conforme bajo un atractor de Damour–Polyakov, con interpretación física de \(\kappa\) y \(\xi\) (§7.4).
2. Teorema de degeneración (§10.2) y sus tres corolarios, que reducen el espacio de parámetros observable de cuatro a dos dimensiones.
3. Identificación del parámetro LPI efectivo \(\alpha(\Phi)=2\kappa\xi e^{-2\xi\Phi}\) como firma primaria del modelo, y de su carácter corriente con la profundidad del potencial como firma exclusiva frente a cualquier teoría métrica (§9.5).
4. Corrección del artefacto numérico de las tablas v7, con forma cerrada libre de cancelación y verificación cruzada a 60 dígitos (§11.3).
5. Teorema de invariancia de escala: \(\Delta\tau\) depende solo de \(r/r_s\), verificado a doce cifras sobre catorce órdenes de magnitud en masa (§14.2).
6. Extremo en campo fuerte: el efecto alcanza su máximo en \(r/r_s=1{,}683\) y se anula en el horizonte, resultado no advertido en el preprint (§14.4).
7. Región de exclusión completa en el plano \((\xi,\kappa)\), con identificación de la zona ciega \(\xi\gtrsim10^{9}\) (§17.4).
8. Propuesta de experimento decisivo: reloj óptico a 10 \(R_\odot\), con cálculo de viabilidad y tiempo de integración (§15.5).
9. Cota cosmológica \(\chi<3{,}0\times10^{-2}\) derivada de la dilatación temporal de supernovas, y demostración de que \(\beta_{\rm cos}\) universal carece de contenido empírico (§16.3).
10. Identificación de dos patologías estructurales: la anulación de \(\beta_{\rm cos}\) en \(a_{\rm fin}=\chi^{-1/p}\) y la vacuidad empírica del sector cosmológico universal (§21.2).

1.7 Estructura del documento

La Parte I establece el marco: qué mide un reloj en Relatividad General (cap. 2), qué se ha medido realmente (cap. 3), qué familias teóricas modifican el ritmo del tiempo (cap. 4) y qué ofrece —y qué no— la teoría de cuerdas como sustrato (cap. 5).

La Parte II construye el modelo: axiomática (cap. 6), acción y ecuaciones de campo (cap. 7), sector cosmológico (cap. 8), análisis de consistencia (cap. 9) y el teorema de degeneración (cap. 10).

La Parte III calcula: metodología numérica (cap. 11), campo terrestre (cap. 12), campo solar (cap. 13), campo fuerte (cap. 14), diseño experimental (cap. 15) y cosmología observacional (cap. 16).

La Parte IV juzga: contraste con cotas (cap. 17), comparación con teorías competidoras (cap. 18), programa de falsación (cap. 19), la conjetura multiversal y su estatuto (cap. 20), limitaciones (cap. 21) y conclusiones (cap. 22).

Los anexos contienen las derivaciones extensas (A), el código completo y reproducible (B), las tablas numéricas íntegras (C) y un glosario (D).

Tiempo propio, principio de equivalencia y el espacio de las modificaciones posibles

Para saber qué puede modificarse en el ritmo de un reloj sin destruir la física conocida hay que saber primero qué protege exactamente la Relatividad General. Este capítulo delimita ese perímetro y muestra en qué grieta concreta se aloja el modelo twin.

2.1 El postulado de los relojes y sus tres componentes

Lo que habitualmente se enuncia como «un reloj mide el tiempo propio» es en realidad la conjunción de tres afirmaciones lógicamente independientes, y conviene separarlas porque el modelo twin viola exactamente una de ellas.

(C1) Localidad. El ritmo de un reloj ideal en un instante dado depende únicamente de su posición y su cuadrivelocidad, no de su historia previa ni de derivadas superiores de la métrica. Esta es la hipótesis del reloj propiamente dicha, y su validez está comprobada hasta aceleraciones de \(\sim\!10^{18}\,g\) en experimentos de tiempo de vida de muones en anillos de almacenamiento Bailey et al., 1977.

(C2) Universalidad. Todos los relojes ideales, con independencia de su composición —cesio, estroncio, aluminio, un péndulo, un núcleo radiactivo—, marcan el mismo tiempo propio. Esta es la forma temporal del principio de equivalencia de Einstein.

(C3) Identificación métrica. El tiempo propio marcado coincide con el intervalo métrico \(d\tau=\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}/c\) construido con la misma métrica que gobierna la dinámica gravitatoria a través de las ecuaciones de Einstein.

2.2 Las tres piezas del principio de equivalencia de Einstein

El principio de equivalencia de Einstein (EEP), en la formulación estándar de Will Will, 2014, se descompone en tres enunciados:

La violación de LPI se parametriza tradicionalmente escribiendo el corrimiento al rojo entre dos puntos con potenciales \(U_1\) y \(U_2\) como

donde \(\alpha=0\) en Relatividad General. El resultado central del capítulo 9 será que el modelo twin predice, en campo débil,

de modo que toda la fenomenología de campo débil se reduce a un único número, \(\kappa\xi\), y toda la fenomenología distintiva —lo que separa al twin de cualquier otra violación de LPI— reside en la dependencia con \(\Phi\) del prefactor exponencial.

2.3 Por qué un factor global no se puede medir

Conviene anticipar aquí, en su forma elemental, el argumento que el capítulo 10 desarrollará formalmente, porque condiciona la lectura de todo lo demás.

Supongamos que el ritmo de todos los relojes del universo se multiplicara por un factor constante \(\beta\). ¿Podríamos detectarlo? No. La razón es que el segundo del Sistema Internacional se define como 9 192 631 770 periodos de la transición hiperfina del \(^{133}\)Cs. Si esa transición se ralentiza en un factor \(\beta\), el segundo se alarga en el mismo factor, y todas las magnitudes derivadas —el metro, vía \(c\); la frecuencia de cualquier otra transición— se reescalan de forma solidaria. El resultado de cualquier medida adimensional permanece invariante.

El argumento se extiende a un factor dependiente del tiempo cósmico, \(\beta(t)\), siempre que sea universal: basta redefinir \(d\tilde t=\beta(t)\,dt\) para eliminarlo de todas las ecuaciones. Este es exactamente el estatuto de \(\beta_{\rm cos}(a)\) en el modelo tal como está formulado, y es la razón por la que el capítulo 16 concluirá que el sector cosmológico carece de contenido empírico salvo que se rompa la universalidad.

Lo que sí es observable es un factor con gradiente espacial. Un reloj en el suelo y otro en una torre no pueden reescalar sus unidades de forma independiente y seguir siendo comparables: al enviarse señales mutuamente, la diferencia de ritmo se manifiesta como un desplazamiento de frecuencia medible. Por eso, y solo por eso, el término \(\beta_{\rm loc}(\Phi)\) tiene contenido físico.

2.4 El formalismo PPN y dónde encaja el modelo

El formalismo post-newtoniano parametrizado (PPN) describe la métrica de una teoría métrica arbitraria en el límite de campo débil y movimiento lento mediante diez parámetros. Para los fines de esta tesis bastan dos:

con \(U=GM/(rc^{2})\) y \(\beta_{\rm PPN}=\gamma_{\rm PPN}=1\) en Relatividad General. Las cotas experimentales son severas: el retardo de Shapiro medido con la sonda Cassini da \(\gamma_{\rm PPN}-1=(2{,}1\pm2{,}3)\times10^{-5}\) Bertotti, Iess y Tortora, 2003, y la telemetría láser lunar acota el parámetro de Nordtvedt \(\eta_N=4\beta_{\rm PPN}-\gamma_{\rm PPN}-3\) a \((-0{,}6\pm5{,}2)\times10^{-4}\) Hofmann, Müller y Biskupek, 2010.

Es tentador —y erróneo— concluir que estas cotas ya excluyen el modelo twin. La razón de que no lo hagan es sutil y merece explicitarse.

Este punto reorienta por completo el programa observacional y es una de las razones por las que la propuesta original, pese a su carácter heterodoxo, no está trivialmente muerta: apunta al único canal donde una modificación de este tipo sobrevive a las cotas del sistema solar.

2.5 Marcos conformes: Jordan y Einstein

Toda teoría escalar-tensorial admite dos descripciones equivalentes. En el marco de Jordan, la materia se acopla mínimamente a \(\tilde g_{\mu\nu}\) y el campo escalar aparece multiplicando el escalar de Ricci. En el marco de Einstein, la parte gravitatoria toma la forma canónica de Einstein–Hilbert y el escalar aparece acoplado a la materia.

El paso de uno a otro es la transformación conforme \(\tilde g_{\mu\nu}=A^{2}(\theta)g_{\mu\nu}\). Ambos marcos son físicamente equivalentes: describen los mismos observables Flanagan, 2004. La confusión histórica sobre cuál es «el real» procede de olvidar que también hay que transformar las unidades de medida.

Adoptaremos el marco de Einstein por dos razones prácticas: (i) el sector gravitatorio conserva su forma estándar, lo que facilita el análisis de estabilidad del capítulo 9; y (ii) el acoplo a la materia se hace explícito, lo que permite leer directamente el parámetro LPI. En ese marco, la identificación es directa:

Es decir: el factor \(\beta_{\rm loc}\) del preprint v7 es, literalmente, la función de acoplo conforme normalizada. Este reconocimiento —que el capítulo 7 desarrolla— es lo que permite importar dos décadas de resultados sobre teorías escalar-tensoriales al análisis del modelo.

2.6 Qué queda del espacio de modificaciones posibles

Recapitulando, una modificación del ritmo del tiempo propio que aspire a sobrevivir a la evidencia actual debe cumplir simultáneamente:

1. Ser universal en composición, o violar el WEP por debajo de \(10^{-15}\) (MICROSCOPE). Un acoplo conforme puro cumple esto exactamente; un acoplo que dependa de la composición nuclear —como el dilatón genérico de Damour–Polyakov antes del mecanismo de atracción— no.
2. No alterar \(\gamma_{\rm PPN}\) por encima de \(2\times10^{-5}\) (Cassini). Los acoplos conformes lo hacen cuadráticamente, lo que resulta automáticamente satisfecho para acoplos pequeños.
3. No producir violación de LPI por encima de \(\sim\!1{,}9\times10^{-5}\) (Galileo, combinación adoptada). Este es el filtro operativo: impone \(\kappa\xi<9{,}5\times10^{-6}\).
4. No inducir variación de constantes fundamentales por encima de las cotas de relojes ópticos y del reactor de Oklo. Un acoplo puramente conforme —el mismo factor para todas las escalas de masa— evita esta cota; un acoplo diferencial no.
5. No dejar traza en la cosmología de precisión más allá de lo permitido por CMB, BAO y dilatación temporal de supernovas.

El modelo twin, formulado como acoplo conforme universal, atraviesa los cinco filtros. El precio que paga por hacerlo, como se verá, es la casi total inobservabilidad: sobrevive porque es pequeño, y es pequeño porque tiene que serlo. El capítulo 15 examinará si existe alguna ventana donde esa pequeñez pueda, aun así, medirse.

Estado del arte experimental: qué se ha medido realmente sobre el ritmo del tiempo

Ninguna cota sobre el modelo puede derivarse sin conocer con precisión qué han medido los experimentos, con qué incertidumbre y bajo qué hipótesis. Este capítulo reúne la evidencia que el capítulo 17 convertirá en números.

3.1 La era de los relojes ópticos

El progreso en metrología de frecuencia ha sido el factor que ha transformado los tests del principio de equivalencia de curiosidades históricas en instrumentos de física fundamental. Un breve recorrido cuantitativo:

El hito conceptualmente decisivo es el de Bothwell y colaboradores Bothwell et al., 2022: resolvieron el gradiente gravitatorio dentro de una misma muestra atómica de un milímetro de altura, alcanzando una incertidumbre de frecuencia fraccional de \(7{,}6\times10^{-21}\). Un milímetro de altura sobre la superficie terrestre corresponde a \(gh/c^{2}=1{,}09\times10^{-19}\); el experimento midió esa cantidad con relación señal-ruido de orden diez.

Del lado de la estabilidad —que es lo que determina el tiempo de integración necesario para una medida— el estado del arte es un reloj de ion \(^{27}\)Al\(^{+}\) con \(\sigma_y(\tau)=3{,}5\times10^{-16}/\sqrt{\tau/\mathrm{s}}\) y exactitud sistemática de \(5{,}5\times10^{-19}\) Marshall et al., 2025. Estos dos números —estabilidad y exactitud— son los que gobiernan todo el diseño experimental del capítulo 15.

3.2 Corrimiento al rojo gravitatorio: de Pound–Rebka a Galileo

Pound y Rebka (1959–1965). El experimento fundacional midió el desplazamiento de frecuencia de fotones de 14,4 keV del \(^{57}\)Fe sobre 22,5 m de la torre Jefferson de Harvard, usando el efecto Mössbauer. La versión final con Snider alcanzó una concordancia del 1 % con la predicción, es decir \(|\alpha|\lesssim10^{-2}\) Pound y Snider, 1965.

Gravity Probe A (1976). Vessot y Levine lanzaron un máser de hidrógeno en trayectoria suborbital hasta 10 000 km de altura, comparándolo con un máser en tierra mediante un enlace de doble vía que cancelaba el efecto Doppler de primer orden. El resultado, \(|\alpha|<1{,}4\times10^{-4}\) Vessot et al., 1980, se mantuvo como la mejor cota durante casi cuatro décadas.

Galileo GSAT0201 y GSAT0202 (2014–2018). Dos satélites del sistema Galileo fueron inyectados por error en órbitas elípticas en lugar de circulares, con excentricidad \(e\approx0{,}16\). Lo que fue un fracaso operativo se convirtió en el mejor test de LPI disponible: la variación periódica de altitud —de 17 180 a 26 020 km— modula el corrimiento gravitatorio de los relojes de a bordo con amplitud de \(\sim\!370\) ns por órbita, y con un periodo bien conocido que permite separar la señal de las derivas sistemáticas.

Dos equipos analizaron independientemente 1008 días de datos:

Adoptamos como cota de referencia \(|\alpha|<1{,}9\times10^{-5}\), promedio ponderado conservador de ambos análisis. Conviene subrayar que ninguno de los dos equipos diseñó el experimento: la mejora de un factor \(\sim\!5{,}6\) sobre Gravity Probe A se obtuvo de un accidente de lanzamiento.

ACES/PHARAO (2025– ). El conjunto Atomic Clock Ensemble in Space fue lanzado el 21 de abril de 2025 en la misión SpaceX CRS-32 e instalado sobre el módulo Columbus de la Estación Espacial Internacional. Combina PHARAO, una fuente de cesio en microgravedad desarrollada por el CNES, con un máser de hidrógeno espacial, y establece enlaces de tiempo-frecuencia con una red de relojes en tierra. Su objetivo científico primario es medir el corrimiento al rojo gravitatorio con exactitud de 2–3 partes por millón, lo que representa una mejora de un factor \(\sim\!10\) sobre Galileo Cacciapuoti et al., 2020. Traducido al modelo twin: \(\kappa\xi<10^{-6}\).

3.3 El principio de equivalencia débil: MICROSCOPE

La misión MICROSCOPE del CNES comparó las aceleraciones de dos masas de prueba coaxiales de composición distinta —aleación de titanio y aleación de platino— en caída libre orbital, midiendo las fuerzas electrostáticas necesarias para mantenerlas en equilibrio. Los resultados finales, publicados en 2022 tras cinco meses acumulados de datos científicos, dan un parámetro de Eötvös

a \(1\sigma\) Touboul et al., 2022, una mejora de casi dos órdenes de magnitud sobre los mejores experimentos de balanza de torsión del grupo Eöt-Wash.

Este resultado es crítico para el modelo twin en un sentido negativo importante: excluye cualquier versión del modelo en la que el acoplo del campo \(\theta\) dependa de la composición nuclear. El dilatón genérico de teoría de cuerdas, antes de aplicar el mecanismo de mínimo acoplo, se acopla de forma distinta a la energía de ligadura nuclear, a la masa del quark y a la energía electromagnética, y produce violaciones del WEP en el rango \(10^{-12}\)–\(10^{-13}\) Damour, Piazza y Veneziano, 2002. MICROSCOPE ya está tres órdenes por debajo. La única versión del modelo que sobrevive es la estrictamente conforme: \(A(\theta)\) multiplicando la métrica completa, sin distinguir sectores. Esta restricción se incorporará como postulado P4 en el capítulo 6.

3.4 Tests de campo intermedio y fuerte

Las cotas anteriores se refieren a potenciales \(\Phi\lesssim10^{-8}\). Para constreñir el parámetro \(\xi\) —que controla cómo cambia el acoplo con la profundidad— se necesitan medidas a potenciales muy distintos. La disponibilidad es escasa pero no nula.

La estrella S2 y Sgr A*. La colaboración GRAVITY midió el corrimiento al rojo gravitatorio combinado con el efecto Doppler transversal en el paso por el pericentro de la estrella S2 alrededor del agujero negro supermasivo del centro galáctico, en mayo de 2018. El parámetro \(f\) que interpola entre la predicción newtoniana (\(f=0\)) y la relativista (\(f=1\)) resultó \(f=1{,}04\pm0{,}05\) GRAVITY Collaboration, 2018, posteriormente refinado. En el pericentro, \(r\approx120\) UA y \(M\approx4{,}3\times10^{6}M_\odot\), de donde \(\Phi\approx3{,}5\times10^{-4}\): cuatro órdenes de magnitud más profundo que cualquier test del sistema solar, aunque con una precisión mil veces menor.

Púlsares binarios. El sistema doble PSR J0737−3039A/B ha permitido verificar la Relatividad General en el régimen de campo fuerte con una precisión del 0,013 % en la razón de masas y de \(1{,}3\times10^{-4}\) en el parámetro de Shapiro Kramer et al., 2021. En superficie de estrella de neutrones \(\Phi\approx0{,}2\). Los observables son, sin embargo, de naturaleza dinámica (avance del periastro, radiación gravitatoria) y no de corrimiento al rojo puro, por lo que su traducción al modelo twin es indirecta y cuadrática en el acoplo.

Sombras de agujero negro. Las imágenes del Event Horizon Telescope de M87* y Sgr A* restringen desviaciones del tamaño de la sombra respecto de Kerr al nivel del 10 %, en \(\Phi\sim0{,}3\)–\(0{,}5\) EHT Collaboration, 2019. De nuevo, la precisión es demasiado baja para el modelo, pero el punto se registra porque cubre el extremo del eje \(\Phi\).

3.5 Dilatación temporal cosmológica

El sector \(\beta_{\rm cos}\) del modelo se contrasta con medidas de dilatación temporal a gran escala. La predicción estándar de un universo en expansión es que un proceso de duración propia \(\Delta\tau\) en el emisor se observa con duración \((1+z)\Delta\tau\); una desviación se parametriza como \((1+z)^{b}\) con \(b=1\) en el modelo estándar.

Supernovas de tipo Ia. El análisis más preciso hasta la fecha emplea 1504 supernovas del programa de supernovas del Dark Energy Survey, en el rango \(0{,}1\lesssim z\lesssim1{,}2\). Ajustando cada curva de luz a una plantilla apilada, el resultado es

White et al., 2024. Este es el dato que el capítulo 16 convertirá en la cota \(\chi<3{,}0\times10^{-2}\).

Cuásares. Lewis y Brewer analizaron la variabilidad de 190 cuásares monitorizados durante dos décadas por el Sloan Digital Sky Survey en varias bandas, modelándola como un paseo aleatorio amortiguado, y detectaron por primera vez de forma inequívoca la dilatación temporal cosmológica en esta clase de fuentes, hasta \(z\approx4\) Lewis y Brewer, 2023. La precisión es muy inferior a la de las supernovas —del orden del 20 %— pero el alcance en redshift es mucho mayor, lo que la hace complementaria para modelos con dependencia fuerte en \(a\).

3.6 Variación de constantes fundamentales

Un acoplo escalar que no fuera estrictamente conforme induciría variación de las constantes adimensionales. Las cotas relevantes son:

• Relojes ópticos. Comparaciones repetidas de razones de frecuencia entre patrones de distinta sensibilidad a \(\alpha_{\rm em}\) acotan la deriva secular a \(|\dot\alpha_{\rm em}/\alpha_{\rm em}|\lesssim10^{-18}\ \mathrm{a^{-1}}\) Lange et al., 2021, y su acoplo al potencial gravitatorio solar a nivel de \(10^{-9}\).
• Reactor natural de Oklo. La posición de la resonancia de captura de neutrones del \(^{149}\)Sm hace \(1{,}8\times10^{9}\) años acota \(|\Delta\alpha_{\rm em}/\alpha_{\rm em}|\lesssim10^{-8}\) Damour y Dyson, 1996.
• Materia oscura ultraligera. Los mismos relojes acotan acoplos dilatónicos oscilantes \(d_e\) sobre un amplio rango de masas Filzinger et al., 2023.

Todas estas cotas son inoperantes contra un acoplo puramente conforme, porque un factor \(A^{2}(\theta)\) sobre la métrica completa reescala solidariamente todas las escalas de masa y deja invariantes las razones adimensionales. Este es, en realidad, el principal argumento a favor de formular el twin como acoplo conforme puro: es la única forma de que sobreviva a la metrología de precisión. También es, como se verá en el capítulo 21, la razón de que sea tan difícil de detectar.

3.7 Síntesis: el mapa de sensibilidades

Teorías que reescalan el tiempo propio: el vecindario del modelo twin

El modelo twin no es una idea aislada. Pertenece a una familia teórica bien estudiada, y situarlo dentro de ella permite importar resultados, anticipar problemas y evitar reinventar patologías ya conocidas.

4.1 Brans–Dicke y la primera generalización

La teoría de Brans y Dicke Brans y Dicke, 1961 introdujo, en el marco de Jordan, la acción

en la que la constante gravitatoria efectiva es \(G_{\rm eff}\propto1/\phi\) y el parámetro \(\omega\) mide el desacoplo del escalar. La Relatividad General se recupera en el límite \(\omega\to\infty\). La predicción PPN es \(\gamma_{\rm PPN}=(1+\omega)/(2+\omega)\), de modo que la cota de Cassini exige \(\omega>4\times10^{4}\).

La lección estructural es que en Brans–Dicke la materia se acopla mínimamente a \(\tilde g\): los relojes miden el intervalo de la métrica de Jordan. Al pasar al marco de Einstein mediante \(g_{\mu\nu}=\phi\,\tilde g_{\mu\nu}\), lo que era «\(G\) variable» se convierte en «relojes reescalados». Esta equivalencia —dos descripciones del mismo hecho físico— es exactamente la ambigüedad que el modelo twin hereda, y que el capítulo 10 tendrá que resolver.

4.2 Teorías escalar-tensoriales generales y el formalismo de Damour–Esposito-Farèse

La generalización moderna se escribe con más provecho en el marco de Einstein:

Toda la fenomenología queda codificada en la función de acoplo \(A(\theta)\), habitualmente expandida alrededor del valor cosmológico de fondo \(\theta_{0}\) como

Damour y Esposito-Farèse Damour y Esposito-Farèse, 1993 demostraron que \((\alpha_{0},\beta_{0})\) determinan tanto la fenomenología de campo débil como fenómenos de campo fuerte cualitativamente nuevos —la escalarización espontánea de estrellas de neutrones para \(\beta_{0}\lesssim-4{,}35\)—. Las relaciones PPN son

Esta correspondencia es el eje del resto de la tesis. Permite, entre otras cosas, comprobar de inmediato la afirmación del capítulo 2: con \(\kappa\xi\sim10^{-12}\), se tiene \(\alpha_{0}^{2}\sim10^{-24}\) y por tanto \(|\gamma_{\rm PPN}-1|\sim10^{-24}\), diecinueve órdenes de magnitud por debajo de Cassini. La cota PPN es inoperante; la de LPI, no.

4.3 Mecanismos de apantallamiento

Un acoplo escalar de fuerza gravitatoria debería haber sido detectado hace décadas. Que no lo haya sido obliga a uno de dos escenarios: o el acoplo es intrínsecamente diminuto, o existe un mecanismo de apantallamiento que lo suprime allí donde medimos. La literatura ha desarrollado tres familias.

Camaleón Khoury y Weltman, 2004. El potencial efectivo \(V_{\rm eff}(\theta)=V(\theta)+\rho\,A(\theta)\) depende de la densidad local, de modo que el campo adquiere una masa grande en regiones densas y su alcance se reduce por debajo de la escala del laboratorio. El apantallamiento es por densidad.

Symmetron Hinterbichler y Khoury, 2010. Un potencial con ruptura espontánea de simetría \(\mathbb{Z}_{2}\) hace que el valor esperado del campo —y con él el acoplo, que es proporcional a \(\theta\)— se anule en regiones densas.

Damour–Polyakov Damour y Polyakov, 1994. La función de acoplo \(A(\theta)\) posee un mínimo en \(\theta_{*}\). Como el acoplo efectivo es \(\alpha=d\ln A/d\theta\), se anula automáticamente en el mínimo. La evolución cosmológica atrae el campo hacia \(\theta_{*}\), de forma que el acoplo se apaga con el tiempo: es el principio de mínimo acoplo. Este mecanismo fue propuesto precisamente para explicar por qué el dilatón de teoría de cuerdas, que debería ser masivo o fuertemente acoplado, no se observa.

4.4 Acoplos disformales

La transformación más general que preserva la causalidad y depende de \(\theta\) y su gradiente es la disformal Bekenstein, 1993:

La diferencia física respecto del caso conforme (\(B=0\)) es decisiva: una transformación conforme preserva los conos de luz, mientras que una disformal los deforma. En consecuencia, bajo acoplo conforme la velocidad de la luz medida localmente sigue siendo \(c\) exactamente y ningún experimento local puede detectar el reescalado; bajo acoplo disformal, la velocidad de propagación de la materia y la de las ondas gravitatorias difieren, algo que la detección multimensajero GW170817/GRB170817A acota a \(|c_{g}/c-1|\lesssim10^{-15}\) LIGO/Virgo y Fermi/INTEGRAL, 2017.

Esta distinción reaparecerá en el capítulo 16 como la única vía para dotar de contenido empírico al sector \(\beta_{\rm cos}\): un \(\beta_{\rm cos}\) puramente conforme es calibre; uno con componente disformal, no. El precio es una cota brutal de las ondas gravitatorias.

4.5 Quintaesencia acoplada y energía oscura dinámica

Un campo escalar rodante que domina la densidad de energía tardía —quintaesencia— produce precisamente una función \(\beta_{\rm cos}(a)\) monótona si está conformemente acoplado a la materia. El interés de esta conexión ha aumentado recientemente: los resultados del Dark Energy Spectroscopic Instrument favorecen, en combinación con supernovas y CMB, una ecuación de estado \(w(a)\) que evoluciona en lugar de una constante cosmológica pura, con una preferencia estadística de varias sigmas según la combinación de datos DESI Collaboration, 2025.

Si esa preferencia se consolida, el sector \(\beta_{\rm cos}\) del modelo twin dejaría de ser un añadido gratuito para convertirse en la huella temporal de la misma dinámica escalar que impulsa la expansión acelerada. El capítulo 16 explora esa identificación y señala por qué, con la parametrización de potencia \(1-\chi a^{p}\), no puede sostenerse: el ansatz de potencia carece de la estructura de rodadura lenta que exigiría la ecuación de Klein–Gordon cosmológica.

4.6 Tabla comparativa

4.7 Qué aporta el modelo twin que no aporten los demás

Honestamente, poco desde el punto de vista formal: como se ha visto, es una teoría escalar-tensorial con apantallamiento tipo Damour–Polyakov, escrita en una parametrización distinta. No introduce estructura matemática nueva, no resuelve ningún problema abierto y no explica ninguna anomalía observacional.

Sí aporta, en cambio, dos cosas de valor operativo.

Primera: una parametrización directamente medible. Al escribir el acoplo como función de \(\Phi\) en lugar de función de \(\theta\), el modelo elimina la necesidad de resolver la ecuación de campo para conectar teoría y observación. La cantidad \(\alpha(\Phi)=2\kappa\xi e^{-2\xi\Phi}\) es literalmente lo que un experimento de corrimiento al rojo mide. Esta es una virtud pedagógica y práctica real, no despreciable en una literatura donde el paso de la acción al observable suele ocupar varias páginas de álgebra.

Segunda: una firma cualitativa limpia. La predicción de que \(\alpha\) decrece monótonamente con \(\Phi\) es distintiva. La Relatividad General predice \(\alpha\equiv0\) en todo \(\Phi\). Una teoría escalar-tensorial sin apantallamiento predice \(\alpha\) constante. El modelo twin predice \(\alpha\) decreciente. Tres hipótesis, tres formas de curva, un solo experimento capaz de distinguirlas: medir \(\alpha\) en dos potenciales muy separados. Ese es el contenido del capítulo 15.

Teoría de cuerdas: qué puede ofrecer como sustrato y qué no

El modelo se llama twin porque su autor lo concibió como un giro interno de las cuerdas. Esta atribución merece un examen honesto: qué grados de libertad internos existen realmente en la teoría, cuáles podrían hacer el papel requerido, y por qué el nombre es, en el mejor de los casos, una analogía sugerente y no una derivación.

5.1 Los grados de libertad de una cuerda

Una cuerda relativista cerrada, cuantizada en el calibre del cono de luz, posee un espectro determinado por tres tipos de excitación.

(a) Modos de oscilación. La expansión en modos de la coordenada de inmersión \(X^{\mu}(\sigma,\varsigma)\) genera operadores \(\alpha_{n}^{\mu}\) y \(\tilde\alpha_{n}^{\mu}\) cuyos números de ocupación fijan el nivel de masa \(M^{2}=\frac{4}{\alpha'}\left(N-1\right)\) para la cuerda bosónica cerrada. El nivel \(N=1\) contiene el gravitón \(g_{\mu\nu}\), el campo de Kalb–Ramond \(B_{\mu\nu}\) y el dilatón \(\phi\), que es la traza.

(b) Momento y enrollamiento. Cuando una dimensión está compactificada en un círculo de radio \(R\), aparecen dos números cuánticos enteros: el momento \(n\) y el número de enrollamiento (winding) \(w\), que cuenta cuántas veces la cuerda rodea el círculo. El espectro es

La simetría de T-dualidad \(R\leftrightarrow\alpha'/R\), \(n\leftrightarrow w\) es una de las propiedades más profundas de la teoría.

(c) Módulos de compactificación. La geometría del espacio interno —tamaños, formas, flujos— está parametrizada por campos escalares sin masa a nivel de árbol, los moduli. En una compactificación de Calabi–Yau típica hay del orden de cientos.

5.2 El candidato natural: el dilatón

De todos estos grados de libertad, el que más se aproxima al papel exigido al twin es el dilatón. Sus propiedades relevantes:

• Es un escalar sin masa a nivel de árbol, compañero universal del gravitón en todas las teorías de cuerdas.
• Su valor esperado determina la constante de acoplo de cuerdas, \(g_{s}=e^{\langle\phi\rangle}\).
• Aparece en la acción efectiva de baja energía multiplicando el escalar de Ricci en el marco de cuerdas, \(S\sim\int d^{10}x\sqrt{-G}\,e^{-2\phi}\left[R+4(\partial\phi)^{2}+\dots\right]\), es decir, exactamente en la forma de Brans–Dicke con \(\omega=-1\).
• Al pasar al marco de Einstein adquiere acoplo directo a la materia, y por tanto modula el ritmo de los relojes.

El problema notorio es que un dilatón sin masa con acoplo de fuerza gravitatoria estaría clamorosamente excluido: produciría una quinta fuerza de alcance infinito y violaciones del principio de equivalencia al nivel de \(10^{-3}\). Damour y Polyakov propusieron la salida Damour y Polyakov, 1994: si las funciones de acoplo a las distintas especies de materia comparten un mismo extremo \(\phi_{*}\), la evolución cosmológica atrae el dilatón hacia ese punto, donde todos los acoplos se anulan simultáneamente. El mecanismo predice residuos de violación del principio de equivalencia en el rango \(10^{-14}\)–\(10^{-18}\), tentadoramente cerca del alcance de MICROSCOPE.

El escenario de runaway dilaton Damour, Piazza y Veneziano, 2002 refina esta idea suponiendo que el extremo está en el infinito del acoplo desnudo, y liga los residuos a la amplitud de las fluctuaciones de densidad primordiales, obteniendo violaciones de la universalidad de la caída libre cerca de \(10^{-12}\).

5.3 ¿Podría un modo de enrollamiento hacer el papel?

Merece la pena tomarse en serio la intuición original, porque hay un candidato menos obvio que el dilatón y que se ajusta mejor a la imagen de «giro»: los modos de enrollamiento.

La idea sería la siguiente. En una compactificación con dimensiones internas de tamaño \(R\), la densidad de estados enrollados depende de \(R\) a través de (5.1). Si el radio de compactificación responde al entorno gravitatorio —lo cual es esperable, puesto que los módulos se acoplan a la curvatura—, entonces la población efectiva de modos de enrollamiento varía con \(\Phi\). Como esos modos contribuyen a la masa efectiva de las partículas del sector visible, su variación reescala las escalas de masa y, con ellas, las frecuencias atómicas.

La construcción es concebible, pero adolece de tres problemas serios que conviene enunciar sin rodeos.

Problema 1: no es conforme. Los modos de enrollamiento contribuyen de forma distinta a la masa del electrón, a la del protón y a \(\Lambda_{\rm QCD}\). El reescalado resultante no es conforme, sino diferencial, y por tanto viola el principio de equivalencia débil a un nivel que MICROSCOPE ya excluye, salvo un ajuste fino que reproduzca la cancelación de Damour–Polyakov.

Problema 2: escala equivocada. Estabilizar los módulos requiere darles masa; las masas típicas en escenarios de estabilización por flujos son \(m_{\rm mod}\gtrsim10\) TeV para evitar el problema cosmológico de los módulos. Un campo con esa masa tiene alcance \(\lambda\sim10^{-20}\) m: no puede mediar una modulación de largo alcance del ritmo del tiempo. Para que el modelo funcione, el campo debe ser prácticamente sin masa, \(m\lesssim H_{0}\sim10^{-33}\) eV, lo cual reintroduce el problema del ajuste fino en su forma más aguda.

Problema 3: no hay cálculo. No existe, hasta donde alcanza este trabajo, ninguna compactificación explícita en la que se haya calculado \(A(\theta)\) y se haya obtenido la forma \(1-\kappa(1-e^{-2\xi\Phi})\). La forma exponencial se justifica en el capítulo 7 como solución de una ecuación de flujo razonable, no como resultado de un cálculo de cuerdas.

5.4 El problema del tiempo en teoría de cuerdas

Existe una razón más profunda por la que la apelación a las cuerdas es, en este contexto, problemática. La teoría de cuerdas perturbativa se formula sobre un fondo espacio-temporal fijo; el tiempo aparece como una coordenada de inmersión \(X^{0}(\sigma,\varsigma)\), no como una cantidad emergente. Las formulaciones no perturbativas conocidas —la correspondencia AdS/CFT Maldacena, 1998, la teoría matricial— tampoco derivan el tiempo: lo heredan de la teoría de frontera o del hamiltoniano de la matriz.

En consecuencia, la teoría de cuerdas no ofrece hoy una explicación del ritmo del tiempo; ofrece, a lo sumo, un catálogo rico de campos escalares que podrían modularlo. El modelo twin pertenece a ese segundo registro, no al primero, y esta tesis lo trata en consecuencia: como una teoría efectiva de campo escalar cuya motivación es heurística.

5.5 Lo que sí se puede sostener sobre la motivación de cuerdas

Tres afirmaciones sobreviven al examen:

1. La teoría de cuerdas predice genéricamente escalares sin masa a nivel de árbol acoplados a la materia. Esto no es controvertido: el dilatón es universal, los módulos son abundantes.
2. Esos escalares, si sobreviven sin masa, reescalan el ritmo de los relojes. Esto es consecuencia inmediata del acoplo conforme en el marco de Einstein.
3. Existe un mecanismo dinámico conocido —el atractor de Damour–Polyakov— que suprime su acoplo hasta niveles compatibles con la observación, y ese mecanismo tiene precisamente la estructura de decaimiento exponencial que el ansatz del preprint postula.

De las tres se sigue que el modelo twin no es arbitrario: ocupa un lugar razonable en el espacio de teorías efectivas motivadas por cuerdas. De ninguna de las tres se sigue que sea correcto.

5.6 Consecuencia metodológica

A partir de aquí la tesis abandona el vocabulario de cuerdas. El objeto de estudio será un campo escalar \(\theta(x)\) con acoplo conforme \(A(\theta)\), y todos los resultados —derivaciones, cotas, propuestas experimentales— serán válidos con independencia de que \(\theta\) proceda de un dilatón, de un módulo, de un giro interno o de ninguna parte.

Esta decisión metodológica tiene un beneficio importante: hace el trabajo robusto frente al fracaso de su propia motivación. Si mañana se demostrara que ningún grado de libertad de cuerdas puede hacer el papel del twin, los capítulos 7 a 19 seguirían siendo válidos como estudio de una clase de teorías escalar-tensoriales con apantallamiento por potencial. Solo el nombre cambiaría.

Axiomática del modelo twin

Antes de escribir una acción conviene declarar exactamente qué se está suponiendo. Este capítulo enuncia siete postulados, señala cuáles son sustantivos y cuáles son elecciones de conveniencia, y deriva de ellos las primeras consecuencias.

6.1 Los siete postulados

6.2 Cuáles son sustantivos y cuáles son convenciones

No todos los postulados tienen el mismo estatuto, y confundirlos sería un error metodológico.

P2, P3 y P4 son los que cargan con el contenido empírico. P2 y P3 están ya sometidos a cotas severas y las superan; P4 es el que la propuesta experimental del capítulo 15 pretende poner a prueba por primera vez.

P5 merece un comentario. Suponer que \(\theta\) depende de la posición solo a través de \(\Phi\) no es inocuo: implica que el campo se ha relajado a su configuración de equilibrio, lo cual exige que la escala de tiempo de relajación \(\tau_{\rm rel}\sim m_{\theta}^{-1}\) sea mucho menor que la escala de variación del entorno. Para un campo casi sin masa —requisito de P7 combinado con largo alcance— esto es cuestionable en sistemas dinámicos. El postulado es aceptable para el Sol, la Tierra o un agujero negro estacionario; deja de serlo para una fusión de agujeros negros o para el universo primitivo. La tesis restringe sus predicciones a los primeros casos.

6.3 Primera consecuencia: la forma de \(\beta_{\rm loc}\)

De P4 y P5 se deriva ya la estructura funcional del ansatz, sin necesidad de resolver ninguna ecuación de campo. El argumento es el siguiente.

Definamos el acoplo efectivo respecto del potencial:

El postulado P4 afirma que \(\alpha\) decrece monótonamente hacia cero conforme el campo se aproxima al atractor. El postulado P5 afirma que la variable que controla ese acercamiento es \(\Phi\). La hipótesis más simple compatible con ambos —y la única que no introduce escalas adicionales— es que el ritmo de decaimiento sea proporcional al propio acoplo:

donde \(2\xi>0\) es la constante de proporcionalidad (el factor 2 es convencional y se elige para reproducir la notación del preprint). La solución con condición inicial \(\alpha(0)=\alpha_{0}\) es

Integrando (6.1) con \(\ln A_{\rm loc}(0)=0\):

Definiendo \(\kappa\equiv\alpha_{0}/(2\xi)\) y usando P7 para escribir \(A_{\rm loc}\simeq1+\ln A_{\rm loc}\):

Esto responde afirmativamente a la pregunta de investigación P1 (§1.4). El ansatz no es un ajuste arbitrario: es la solución general de la ecuación de flujo más simple compatible con un atractor de mínimo acoplo. Cualquier otra forma funcional requeriría introducir una escala adicional.

6.4 Segunda consecuencia: por qué el efecto satura

La saturación \(\beta_{\rm loc}\to1-\kappa\) tiene una lectura física directa que conviene explicitar porque genera confusión.

En el régimen \(2\xi\Phi\gg1\), el campo ha alcanzado el atractor \(\theta_{*}\) y el acoplo se ha apagado. Que \(\beta_{\rm loc}\) sea constante e igual a \(1-\kappa\) no significa que allí haya un efecto grande: significa que allí no hay gradiente, y por el teorema del capítulo 10, un factor constante es inobservable. Dicho de otro modo:

6.5 El sector cosmológico y su asimetría de estatuto

El postulado P6 introduce la factorización \(A=A_{\rm loc}\cdot A_{\rm cos}\). Aplicando el mismo razonamiento a \(A_{\rm cos}\), la parametrización del preprint es

Obsérvese una asimetría metodológica que el preprint no señalaba: mientras que (6.5) se deriva de P4 y P5, la ecuación (6.6) es un ajuste puro. No hay ningún postulado del que se siga una ley de potencia en \(a\). Un campo escalar rodante en un fondo de Friedmann obedece

cuya solución genérica no es una potencia de \(a\). El capítulo 8 examina bajo qué condiciones puede reproducirse (6.6), y el capítulo 21 registra su fragilidad como una de las dos patologías estructurales del modelo.

6.6 Lo que los postulados prohíben

Es tan importante saber qué excluye una axiomática como qué permite. Los siete postulados prohíben explícitamente:

• Cualquier dependencia direccional. P1 exige que \(\theta\) sea escalar; no hay anisotropía, ni acoplo a la velocidad, ni preferencia de marco. Esto protege automáticamente la invariancia de Lorentz local.
• Cualquier violación del WEP. P3 lo garantiza por construcción.
• Cualquier variación de constantes adimensionales. Consecuencia de P2 + P3: un factor conforme universal no altera \(\alpha_{\rm em}\) ni \(m_{e}/m_{p}\).
• Cualquier diferencia entre la velocidad de las ondas gravitatorias y la de la luz. Consecuencia de P2: las transformaciones conformes preservan los conos nulos.
• Un acoplo creciente con la profundidad. P4 impone monotonía decreciente. Si un experimento midiera \(\alpha\) mayor en campo fuerte que en campo débil, el modelo quedaría refutado sin necesidad de ajustar parámetros.

Este último punto es el que da al modelo su carácter falsable más nítido, y es la base de la prueba P2 del programa de falsación del capítulo 19.

6.7 Recapitulación

Partiendo de siete postulados, tres de los cuales tienen contenido empírico independiente, se ha derivado la forma funcional local del modelo y se ha identificado el significado físico de sus parámetros. Se ha señalado que el sector cosmológico no goza del mismo respaldo derivacional.

El capítulo siguiente hace explícita la acción de la que todo esto procede, obtiene las ecuaciones de campo y verifica que la solución estática esférica reproduce (6.5) con las identificaciones anunciadas.

Acción, ecuaciones de campo y solución estática

Este es el capítulo técnico central. Se escribe la acción, se varían los campos, se resuelve el caso estático esférico y se comprueba que el ansatz del preprint emerge como solución, no como suposición.

7.1 La acción

En el marco de Einstein, y con los postulados P1–P3 del capítulo anterior, la acción del sistema es

con \(M_{\rm Pl}^{2}=(8\pi G)^{-1}\) la masa de Planck reducida, \(V(\theta)\) el potencial de autointeracción y \(A(\theta)\) la función de acoplo conforme. Los campos de materia \(\psi_{i}\) incluyen todo el Modelo Estándar.

La estructura de (7.1) es la de una teoría escalar-tensorial estándar. Lo específico del modelo twin no está en la forma de la acción sino en la forma de \(A(\theta)\), que el postulado P4 restringe a poseer un extremo, y en el régimen de parámetros \(|1-A|\lesssim10^{-12}\).

7.2 Ecuaciones de campo

Variando (7.1) respecto de \(g^{\mu\nu}\) se obtiene la ecuación de Einstein con dos fuentes:

donde el tensor energía-momento del campo escalar es canónico,

y el de la materia se define en el marco de Einstein como \(T^{(m)}_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{m}}{\delta g^{\mu\nu}}\).

Variando respecto de \(\theta\), y usando que \(\frac{\delta}{\delta\theta}=\frac{\partial\tilde g_{\mu\nu}}{\partial\theta}\frac{\delta}{\delta\tilde g_{\mu\nu}} =2A\,A'\,g_{\mu\nu}\frac{\delta}{\delta\tilde g_{\mu\nu}}\), se llega a la ecuación de Klein–Gordon con fuente material:

Obsérvese la estructura de retroalimentación: \(\rho\) genera \(\theta\); \(\theta\) determina \(\alpha_{\theta}\); si \(\theta\) se acerca a \(\theta_{*}\), \(\alpha_{\theta}\to0\) y la generación se apaga. Es un sistema autolimitado, y de ahí la saturación.

7.3 Conservación y ecuación del movimiento de la materia

El tensor \(T^{(m)}_{\mu\nu}\) no se conserva por separado en el marco de Einstein. La identidad de Bianchi \(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu}=0\) aplicada a (7.2) da

El miembro derecho representa el intercambio de energía entre materia y campo. Para una partícula puntual de masa \(m(\theta)=m_{0}A(\theta)\), la ecuación (7.6) equivale a la ecuación geodésica modificada

El término adicional es la «quinta fuerza». Su magnitud relativa a la gravedad newtoniana es \(2\alpha_{\theta}^{2}\), que para el modelo twin vale \(\sim(2\kappa\xi)^{2}\sim10^{-24}\): totalmente indetectable, en concordancia con lo anticipado en §2.4.

7.4 Solución estática esférica y derivación de \(\beta_{\rm loc}\)

Consideremos una masa \(M\) estática y esféricamente simétrica. En el exterior \(\rho=0\), de modo que (7.5) se reduce a \(\nabla^{2}\theta=V'(\theta)\). Para un campo suficientemente ligero (\(m_{\theta}r\ll1\), es decir, alcance mayor que la escala del sistema) el término del potencial es despreciable y

donde la «carga escalar» \(Q_{\theta}\) se obtiene integrando (7.5) sobre el interior:

Combinando (7.8) y (7.9). Para que el cálculo sea transparente conviene declarar la convención: se adopta \(\theta\) adimensional, definido de modo que el término cinético de la acción (7.1) sea \(-\tfrac{1}{2}M_{\rm Pl}^{2}(\partial\theta)^{2}\), con \(M_{\rm Pl}^{2}=(8\pi G)^{-1}\) en unidades \(\hbar=c=1\). Con esa normalización la ecuación (7.8) se escribe \(\theta(r)=\theta_{\infty}+\bar\alpha_{\theta}M/(4\pi M_{\rm Pl}^{2}r)\), y sustituyendo \(M_{\rm Pl}^{-2}=8\pi G\):

Es el resultado estándar de la literatura escalar-tensorial Damour y Esposito-Farèse, 1993: la carga escalar de un cuerpo genera un perfil proporcional a su potencial newtoniano, con constante de proporcionalidad igual al doble del acoplo.

Ahora incorporamos el atractor. El postulado P4 exige que \(\alpha_{\theta}\) decrezca al acercarse el campo a \(\theta_{*}\). Modelando ese decrecimiento con la forma más simple —lineal en la desviación, es decir, un extremo cuadrático de \(\ln A\)—:

que, cerrando el sistema con la identificación \(\bar\alpha_{\theta}\equiv\alpha(\Phi)\) —el acoplo que genera el perfil es el mismo que se experimenta localmente—, da la ecuación de flujo

La ecuación (7.11) es exactamente la ecuación (6.2). Su integración, ya realizada en §6.3, produce

7.5 Del acoplo al ritmo del reloj

Falta el paso final: conectar \(A(\theta)\) con lo que mide un reloj. Un reloj atómico es un sistema de materia, y por P2 la materia se acopla a \(\tilde g_{\mu\nu}=A^{2}g_{\mu\nu}\). Su tiempo propio es, por tanto,

Para un observador estático en la métrica de Schwarzschild del marco de Einstein, \(d\tau_{E}/dt=\sqrt{1-2\Phi}\), y por tanto

donde se ha normalizado por el valor asintótico —lo cual es legítimo y necesario: solo las razones son observables, como demostrará el capítulo 10—. Incluyendo el factor cosmológico según P6 se recupera la ecuación (1.1) del preprint en su totalidad.

7.6 El límite de campo débil y el parámetro LPI

Expandiendo (7.14) a primer orden en \(\Phi\) y en \(\kappa\):

Comparando con la parametrización estándar (2.1):

y, manteniendo el prefactor exponencial sin expandir, la generalización a potencial arbitrario:

La ecuación (7.17) es el resultado observacional central de esta tesis. Todo el programa experimental de la Parte III consiste en medir esta función en dos o más valores de \(\Phi\).

7.7 Escalas de masa y alcance del campo

Un aspecto crítico que el preprint no abordaba: ¿cuál debe ser la masa del campo \(\theta\)?

La derivación de (7.8) supuso \(m_{\theta}r\ll1\) para el sistema considerado. Si queremos que el efecto sea visible entre la Tierra y una órbita GNSS (\(r\sim2{,}6\times10^{7}\) m), hace falta

Si además queremos que el sector cosmológico tenga sentido —que el campo evolucione en escalas de Hubble— entonces \(m_{\theta}\lesssim H_{0}\hbar/c^{2}\approx1{,}5\times10^{-33}\) eV. Este es el requisito más restrictivo y plantea el clásico problema de naturalidad: ¿por qué habría un escalar tan extraordinariamente ligero? El modelo no lo responde. El capítulo 21 lo registra como limitación abierta, en pie de igualdad con el problema de la constante cosmológica al que está estructuralmente emparentado.

7.8 Recapitulación técnica

Se ha establecido la cadena completa: acción (7.1) → ecuación de campo (7.4) → solución estática (7.10) → flujo del acoplo (7.11) → ansatz (7.12) → ritmo del reloj (7.14) → observable (7.17). Cada eslabón es estándar en teorías escalar-tensoriales; la novedad del modelo twin está en la parametrización, no en la física.

Queda pendiente el sector cosmológico, que se aborda a continuación y cuyo estatuto, como se anticipó, es considerablemente más débil.

El sector cosmológico: \(\beta_{\rm cos}\), su dinámica y su fragilidad

El segundo factor del modelo describe una atenuación global del ritmo que crece con la expansión. Este capítulo examina si puede derivarse de la ecuación de Klein–Gordon cosmológica, qué dinámica implicaría, y por qué la parametrización de potencia contiene una patología estructural.

8.1 El campo twin en un fondo de Friedmann

En una métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker plana, \(ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a^{2}(t)\,d\vec x^{2}\), la ecuación (7.5) para un campo homogéneo se reduce a

con \(H=\dot a/a\). El miembro derecho es la fuente material; el término \(3H\dot\theta\) es la fricción de Hubble. Las ecuaciones de Friedmann se modifican por la energía del campo:

El factor de atenuación cosmológico se define, en paralelo con (2.4), como

donde la elección del punto de referencia es convencional. El preprint normaliza implícitamente en \(a\to0\), donde \(\beta_{\rm cos}\to1\).

8.2 ¿Puede una ley de potencia resolver (8.1)?

Preguntemos directamente: ¿qué potencial \(V(\theta)\) y qué función \(A(\theta)\) producen \(\ln A\propto-\chi a^{p}\)?

En régimen de rodadura lenta (\(\ddot\theta\ll3H\dot\theta\)) y despreciando la fuente material frente al potencial, (8.1) da

Por otro lado, si \(\ln A=-\chi a^{p}\) y \(\ln A=-\alpha_{\theta}\,\Delta\theta\) a primer orden, entonces

Igualando (8.5) y (8.6), y usando \(H^{2}\propto a^{-3}\) en dominación de materia:

Integrando, el potencial requerido es una ley de potencia en el campo:

La restricción «durante la era de dominación de materia» es esencial y el preprint la ignoraba. Al cambiar el fondo —radiación en el pasado, energía oscura en el futuro— la relación \(H^{2}\propto a^{-3}\) deja de valer y el exponente efectivo \(p\) deja de ser constante. La parametrización de potencia es, por tanto, una interpolación local en \(a\), no una ley válida en todo el rango \(0

8.3 La patología del futuro

Hay un problema más grave, y es puramente algebraico. La función

se anula en

Para \(a>a_{\rm fin}\) el factor se hace negativo, lo cual carece de sentido físico: el ritmo del tiempo propio invertiría su signo. Para los valores fiduciales \(\chi=10^{-10}\), \(p=1\), esto ocurre en \(a_{\rm fin}=10^{10}\), es decir, cuando el universo se haya expandido diez mil millones de veces respecto de hoy. En un universo dominado por energía oscura con \(H\to H_{\Lambda}\), eso ocurre en un tiempo finito \(t\sim H_{\Lambda}^{-1}\ln(10^{10})\approx23\,H_{\Lambda}^{-1}\approx3\times10^{11}\) años.

8.4 Comportamiento en el pasado profundo

En el otro extremo, \(a\to0\) implica \(\beta_{\rm cos}\to1\): la atenuación desaparece y el ritmo del tiempo era «máximo» en el universo primitivo. Esta es la lectura que el preprint da a la frase «el universo iba más deprisa».

Conviene precisar qué significa exactamente, porque la formulación coloquial es engañosa. Lo que el modelo afirma es que la razón entre el tiempo propio de la materia y el tiempo coordenado de la métrica de Einstein era mayor en el pasado. Como todo —incluidos los procesos con los que mediríamos— se reescala solidariamente, un observador del universo primitivo no habría notado nada. El efecto solo es potencialmente visible en comparaciones entre épocas, es decir, en la dilatación temporal cosmológica. Y aun ahí, como demostrará el capítulo 10, únicamente si el acoplo rompe la universalidad.

8.5 Deriva secular inducida hoy

Una consecuencia inmediata y calculable: si \(\beta_{\rm cos}\) evoluciona, todos los relojes sufren hoy una deriva fraccional

Con \(H_{0}=67{,}66\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}=2{,}1927\times10^{-18}\ \mathrm{s^{-1}}\) y los valores fiduciales:

Para comparación, las mejores comparaciones de razones de frecuencia entre relojes ópticos acotan derivas al nivel de \(10^{-18}\,\mathrm{a\tilde no^{-1}}\). Sería tentador concluir que \(\chi<10^{-8}\). Sería incorrecto. Como el efecto es universal, se cancela en cualquier razón de frecuencias. La ecuación (8.12) no es medible. Se registra aquí porque el preprint la sugería implícitamente como observable, y no lo es.

8.6 Relación con la energía oscura

La ecuación (8.2) muestra que el campo \(\theta\) contribuye a la densidad de energía del universo. Si \(V(\theta)\) domina en la época tardía, el campo es la energía oscura, y el modelo twin deja de ser un añadido ad hoc para convertirse en la contrapartida temporal de la aceleración cósmica. Esta es, con diferencia, la versión más atractiva del sector cosmológico.

Su ecuación de estado es

que para rodadura lenta (\(\dot\theta^{2}\ll V\)) tiende a \(-1\) y reproduce la constante cosmológica. Las desviaciones son de orden \(\epsilon_{V}=\frac{M_{\rm Pl}^{2}}{2}(V'/V)^{2}\). Los datos recientes de DESI, combinados con supernovas y CMB, favorecen una ecuación de estado que evoluciona respecto de \(-1\) DESI Collaboration, 2025, compatible cualitativamente con quintaesencia de rodadura (thawing).

8.7 Resumen del capítulo

La conclusión honesta es que el sector cosmológico del modelo es, en su forma actual, la parte más débil de la construcción: se ajusta en lugar de derivarse, contiene una patología en el futuro y —salvo que se rompa la universalidad— no es medible. El capítulo 16 examina la única vía de rescate: dotarlo de una componente no universal, al precio de someterlo a las cotas de las ondas gravitatorias.

Consistencia interna: fantasmas, causalidad, límites y estabilidad

Una teoría puede ser compatible con los datos y aun así ser matemáticamente inaceptable. Este capítulo somete el modelo a las cinco pruebas estándar de consistencia y verifica que las supera, señalando el único punto donde el margen es estrecho.

9.1 Ausencia de fantasmas

Un fantasma (ghost) es un grado de libertad con término cinético de signo equivocado. Su presencia implica energía no acotada inferiormente y, en la teoría cuántica, inestabilidad del vacío frente a la creación espontánea de pares de energía positiva y negativa.

En la acción (7.1), el término cinético del campo es \(-\frac{1}{2}(\partial\theta)^{2}\), que con signatura \((-,+,+,+)\) da una densidad de energía cinética \(+\frac{1}{2}\dot\theta^{2}\ge0\). El signo es correcto por construcción.

Hay, sin embargo, una sutileza que conviene verificar: al transformar al marco de Jordan, el término cinético efectivo adquiere una contribución del acoplo. La condición de no-fantasma en el marco de Jordan para una teoría de Brans–Dicke generalizada es \(2\omega+3>0\). Traducido a la parametrización conforme:

que se satisface trivialmente para todo \(\alpha_{\theta}\) real y no nulo. En el modelo twin, \(\alpha_{\theta}\sim2\kappa\xi\sim10^{-12}\), de modo que \(\omega\sim10^{24}\): el escalar está tan débilmente acoplado que el sector gravitatorio es, a todos los efectos prácticos, Relatividad General pura.

9.2 Gradientes y velocidad del sonido

Una segunda inestabilidad posible es la de gradiente: si la velocidad del sonido al cuadrado del campo, \(c_{s}^{2}\), es negativa, las perturbaciones de longitud de onda corta crecen exponencialmente y la teoría es inestable en el ultravioleta.

Para un campo escalar canónico con potencial arbitrario, \(c_{s}^{2}=1\) exactamente: las perturbaciones se propagan a la velocidad de la luz. No hay inestabilidad de gradiente. Esto es consecuencia directa de haber elegido un término cinético canónico —es decir, de la ausencia de estructura tipo k-esencia en la acción—.

Merece señalarse que esta elección no es gratuita: una teoría con \(c_{s}^{2}\ne1\) tendría perturbaciones que se propagan a velocidad distinta de la luz, con problemas potenciales de causalidad y con cotas observacionales adicionales. La acción (7.1) evita el problema por construcción.

9.3 Estabilidad del atractor

El postulado P4 exige que \(\theta_{*}\) sea un atractor. Verifiquémoslo dinámicamente.

Cerca del extremo, escribamos \(\ln A(\theta)\simeq\ln A_{*}+\frac{1}{2}\beta_{*}(\theta-\theta_{*})^{2}\). El acoplo es entonces \(\alpha_{\theta}=\beta_{*}(\theta-\theta_{*})\), y la ecuación (8.1) en el vacío (\(V'=0\)) se linealiza como

Se trata de un oscilador amortiguado con frecuencia \(\omega_{\rm eff}^{2}=\beta_{*}\rho_{m}c^{2}\). La condición de estabilidad es

es decir, que el extremo de \(\ln A\) sea un mínimo y no un máximo. Si \(\beta_{*}<0\), la perturbación crece y el campo se aleja: el atractor sería un repulsor y el postulado P4 fallaría.

9.4 Límite newtoniano y conservación

En el límite de campo débil y movimiento lento, la ecuación (7.7) da la aceleración de una partícula de prueba:

donde se ha usado (7.10). El efecto es una renormalización de la constante gravitatoria efectiva:

Con los valores fiduciales, \(G_{\rm eff}/G-1=8\times10^{-24}\). La medida de \(G\) tiene una incertidumbre relativa de \(2\times10^{-5}\) Tiesinga et al., 2021: diecinueve órdenes de magnitud de margen.

Sobre la conservación, la ecuación (7.6) muestra que \(T^{(m)}_{\mu\nu}\) no se conserva por separado, pero la suma \(T^{(m)}_{\mu\nu}+T^{(\theta)}_{\mu\nu}\) sí, como garantiza la identidad de Bianchi. No hay violación de la conservación de la energía: hay intercambio entre sectores. Este es el comportamiento estándar de toda teoría escalar-tensorial en el marco de Einstein, y no constituye un defecto.

9.5 La firma exclusiva: el acoplo que corre

Llegamos al resultado que distingue al modelo twin de sus competidores. Recopilemos las predicciones de las tres hipótesis rivales para el parámetro LPI en función del potencial:

La última columna define el experimento decisivo. Midiendo \(\alpha\) en dos potenciales \(\Phi_{1}<\Phi_{2}\), la razón

proporciona una medida directa e independiente de \(\kappa\) del parámetro \(\xi\). Esta es la observación operativa más importante del capítulo: \(\kappa\) y \(\xi\) no solo son separables en principio, sino que hay un procedimiento concreto para separarlos.

9.6 Causalidad y estructura conforme

Una transformación conforme \(\tilde g_{\mu\nu}=A^{2}g_{\mu\nu}\) con \(A>0\) preserva exactamente la estructura causal: un vector nulo respecto de \(g\) es nulo respecto de \(\tilde g\) y viceversa, puesto que \(\tilde g_{\mu\nu}k^{\mu}k^{\nu}=A^{2}g_{\mu\nu}k^{\mu}k^{\nu}\).

De aquí se siguen tres consecuencias favorables al modelo:

1. La velocidad de la luz medida localmente es exactamente \(c\) en ambos marcos. No hay violación de la invariancia de Lorentz local.
2. Las ondas gravitatorias y la luz viajan a la misma velocidad, en concordancia con GW170817. Esta es una predicción no trivial que muchas teorías modificadas de la gravedad no superaron en 2017.
3. No hay curvas temporales cerradas inducidas por el campo. El modelo no permite viaje temporal por este mecanismo, un punto que el capítulo 20 desarrollará.

La condición \(A>0\) es esencial en los tres casos, y es exactamente la que la parametrización \(1-\chi a^{p}\) viola en el futuro lejano (§8.3). La reparación (8.10) restaura la validez de este argumento en todo el dominio.

9.7 Límite de Relatividad General

El modelo recupera la Relatividad General en tres límites independientes:

El tercer límite es notable y a menudo se pasa por alto: un apantallamiento perfecto es observacionalmente idéntico a la Relatividad General, porque un factor constante es calibre. Esto significa que el modelo tiene dos direcciones de escape en el espacio de parámetros hacia la indistinguibilidad: \(\kappa\to0\) y \(\xi\to\infty\). Ambas aparecen en la región de exclusión del capítulo 17, y explican la existencia de la «zona ciega».

9.8 Cuantización y validez como teoría efectiva

Un último punto de rigor. La acción (7.1) es una teoría efectiva, no una teoría fundamental. Su corte ultravioleta natural es la escala donde el acoplo no renormalizable \(\alpha_{\theta}\,\theta\,T/M_{\rm Pl}\) se hace fuerte, es decir \(\Lambda_{\rm UV}\sim M_{\rm Pl}/\alpha_{\theta}\sim10^{12}M_{\rm Pl}\). Como este valor excede la masa de Planck, la teoría efectiva es válida hasta \(M_{\rm Pl}\) y el modelo no sufre problemas de unitariedad en el rango de energías accesible.

Las correcciones cuánticas al potencial \(V(\theta)\) son, en cambio, un problema real. Un escalar de masa \(10^{-33}\) eV acoplado a la materia recibe correcciones radiativas de orden \(\delta m_{\theta}^{2}\sim\alpha_{\theta}^{2}\Lambda^{4}/M_{\rm Pl}^{2}\), que para \(\Lambda\sim\) TeV y \(\alpha_{\theta}\sim10^{-12}\) da \(\delta m_{\theta}\sim10^{-30}\) eV: tres órdenes de magnitud por encima del valor requerido. El modelo padece, por tanto, un problema de naturalidad técnica. Es el mismo problema de la quintaesencia y de la constante cosmológica, y no se resuelve aquí. Queda registrado en §21.3.

9.9 Cuadro de verificación

Siete de ocho. El fallo en naturalidad técnica es real pero compartido con todas las teorías de energía oscura dinámica en la literatura, por lo que no distingue al modelo twin negativamente respecto de sus competidores establecidos.

El teorema de degeneración: qué es calibre y qué es física

Este es el capítulo que más contenido elimina del modelo y, precisamente por ello, el que más contenido válido salva. Demuestra que dos de los cuatro parámetros no son observables y redefine por completo qué preguntas experimentales tienen sentido.

10.1 El problema

El preprint v7 presenta cuatro parámetros \((\kappa,\xi,\chi,p)\) y ofrece tablas de \(\Delta\tau\) calculadas a partir de ellos. La pregunta previa que nunca se plantea es: ¿son esos cuatro números medibles?

La cuestión no es retórica. En física, una cantidad es observable solo si su valor puede determinarse mediante un procedimiento experimental que no presuponga la propia teoría. Un parámetro que puede absorberse por una redefinición de unidades o de coordenadas es calibre: aparece en las ecuaciones pero no en la realidad.

10.2 El teorema

10.3 Objeciones y respuestas

El teorema 10.1 suele encontrar tres objeciones. Las tres son instructivas y merecen respuesta explícita.

Objeción 1: «Pero podríamos comparar con un reloj que no se vea afectado». Correcta en principio, imposible en la práctica bajo P3. La universalidad composicional implica que no existe tal reloj: cesio, estroncio, un péndulo, la desintegración del \(^{14}\)C y la rotación terrestre se reescalan solidariamente. Si existiera un sector exento, P3 sería falso y MICROSCOPE lo habría detectado.

Objeción 2: «La luz de galaxias lejanas nos trae información del pasado». Esta es la objeción seria, y la respuesta es más fina. Sí, un proceso astrofísico observado a redshift \(z\) ocurrió cuando \(\beta_{\rm cos}\) valía \(\beta_{\rm cos}(a_{e})\), distinto de su valor hoy. Pero la duración observada del proceso depende de la razón

y la duración intrínseca \(\Delta\tau_{\rm int}\) del proceso —fijada por física atómica o nuclear en el emisor— también se reescala por \(\beta_{\rm cos}(a_{e})\). Los dos factores se cancelan exactamente. El capítulo 16 desarrolla este cálculo con cuidado y muestra que la cancelación es completa si y solo si el acoplo es universal.

Objeción 3: «Entonces el modelo no dice nada». No: dice exactamente una cosa, y la dice de forma precisa. Dice que \(\alpha_{\rm LPI}\ne0\) y que decrece exponencialmente con \(\Phi\). Eso es un contenido empírico modesto pero real, y suficiente para construir un programa de falsación. Lo que el teorema elimina es la ilusión de que había cuatro números que medir.

10.4 Cómo dotar de contenido al sector cosmológico

Si se desea que \(\chi\) y \(p\) sean medibles, hay que romper alguna hipótesis del teorema. Existen exactamente tres vías, y las tres tienen coste.

Vía A · Ruptura de la universalidad composicional (negar P3). Si \(A\) dependiera de la especie —por ejemplo, si acoplara con distinta intensidad a la energía electromagnética y a \(\Lambda_{\rm QCD}\)—, entonces las razones de frecuencia entre relojes distintos derivarían con el tiempo cósmico. Sería medible. Coste: violación del WEP, ya excluida por MICROSCOPE por debajo de \(10^{-15}\), y variación de \(\alpha_{\rm em}\), acotada a \(10^{-18}\,\mathrm{a}^{-1}\).

Vía B · Acoplo disformal (negar P2). Un término \(B(\theta)\partial_\mu\theta\partial_\nu\theta\) en la relación entre métricas deforma los conos de luz y desacopla la velocidad de la materia de la de la gravedad. Los observables cosmológicos —relación distancia-luminosidad frente a distancia-diámetro angular, dilatación temporal de supernovas— dejarían de cancelarse. Coste: \(|c_{g}/c-1|<10^{-15}\) de GW170817 acota el parámetro disformal a niveles extremadamente pequeños.

Vía C · El campo como energía oscura. Si \(\theta\) contribuye apreciablemente a \(\rho_{\rm total}\), altera \(H(z)\) y con ello toda la cosmología de fondo. Esta contribución es medible sin violar ningún principio. Coste: ninguno en principio, pero entonces \(\chi\) queda ligado a \(w(a)\) y deja de ser un parámetro libre; se convierte en una predicción a contrastar con DESI y Planck, no en un ajuste.

10.5 Reinterpretación de las tablas del preprint

El teorema tiene una consecuencia práctica inmediata sobre cómo deben leerse los resultados numéricos del preprint v7, y por extensión los de la Parte III de esta tesis.

Las tablas v7 presentan \(\Delta\tau=\tau_{\rm modelo}-\tau_{\rm GR}\) para un único emplazamiento. Por el corolario 10.3, esa cantidad no es observable: es la diferencia entre dos convenciones de unidad temporal. Lo que sí es observable es la diferencia de diferencias entre dos emplazamientos:

10.6 El caso límite: ¿y si \(\xi\to0\)?

Un caso instructivo. Si \(\xi\to0\) manteniendo \(\kappa\xi\) finito, entonces

y el modelo se reduce a una corrección lineal del potencial, indistinguible de una renormalización del coeficiente del corrimiento al rojo. En ese límite el parámetro \(\xi\) es inobservable por separado y solo queda \(\alpha_{0}=2\kappa\xi\): el espacio de parámetros colapsa de 2 a 1 dimensión.

Esto significa que la segunda dimensión observable —\(\xi\)— solo se manifiesta si el experimento accede a potenciales suficientemente profundos como para que \(2\xi\Phi\) deje de ser despreciable. Cuantitativamente: se necesita \(\Phi\gtrsim1/(2\xi)\). Para el valor fiducial \(\xi=1\), esto exige \(\Phi\gtrsim0{,}5\), es decir, el entorno inmediato de un agujero negro. Con \(\xi=1\), el parámetro \(\xi\) es en la práctica inmedible.

10.7 Síntesis del capítulo

El teorema no refuta el modelo. Lo disciplina: elimina dos parámetros ilusorios, identifica con precisión los dos que quedan y señala qué hay que medir para determinarlos. La Parte III se dedica íntegramente a ese cálculo.

Metodología numérica: el artefacto de precisión y su corrección

El resultado más inmediato de esta tesis no es teórico sino numérico: las tablas publicadas del modelo contenían ceros que no eran físicos. Este capítulo diagnostica el fallo, lo cuantifica y establece el procedimiento correcto.

11.1 El síntoma

Las tablas del preprint v7 —conservadas en los ficheros index_tabla_tierra.csv y index_tabla_sol.csv— presentan una columna «Δτ spin (ns/día)» que vale exactamente 0.0 en todas las filas correspondientes a la Tierra y al Sol, mientras que las tablas de agujeros negros arrojan valores del orden de \(-15\) ns/día.

Una lectura natural de estos datos es que el modelo predice efecto nulo en campo débil y efecto medible en campo fuerte. Esa lectura es incorrecta. La ecuación (6.5) es analítica y no se anula en ningún punto con \(\Phi>0\): para \(\kappa=10^{-12}\) y \(\xi=1\),

11.2 El diagnóstico

El cálculo del preprint evalúa \(\Delta\tau\) como diferencia de dos productos:

tau_gr    = T * sqrt(1 - 2*Phi)
tau_model = T * sqrt(1 - 2*Phi) * (1 - kappa*(1 - exp(-2*xi*Phi)))
delta_tau = tau_model - tau_gr          # <-- aquí se pierde todo

Para el nivel del mar, \(\Phi_\oplus=6{,}961\,275\times10^{-10}\), de donde

En el formato IEEE-754 binary64, la unidad en el último lugar (ULP) de un número de magnitud \(86\,400\) es

Es decir: la señal buscada es unas \(1{,}2\times10^{5}\) veces menor que la mínima diferencia representable entre dos números de esa magnitud. Los dos operandos de la resta son idénticos bit a bit, y el resultado es exactamente cero. No hay pérdida parcial de precisión: hay pérdida total.

Esto explica también por qué las tablas de agujeros negros sí daban resultados: allí \(\Phi\sim0{,}45\), la señal es \(\sim1{,}6\times10^{-8}\) s y supera el ULP por tres órdenes de magnitud. El umbral de aparición está en \(\Phi\approx3{,}2\times10^{-4}\), justamente entre el Sol y los agujeros negros. El «efecto solo en campo fuerte» del preprint es, literalmente, el borde de la precisión de la máquina.

11.3 La corrección: forma cerrada

La solución no requiere aritmética especial si se hace el álgebra antes de programar. Sustituyendo \(\beta_{\rm loc}\):

En esta forma no hay ninguna resta de cantidades grandes: el resultado se construye directamente como producto de factores del orden correcto. Evaluada en float64, (11.3) reproduce el valor exacto con precisión relativa \(\sim\!10^{-16}\).

Persiste, no obstante, un segundo punto de cancelación: el factor \(1-e^{-2\xi\Phi}\) para \(\Phi\) muy pequeño. Aquí \(e^{-2\xi\Phi}\to1\) y la resta vuelve a perder dígitos. La solución estándar es usar la función expm1, que calcula \(e^{x}-1\) con precisión completa para \(x\) pequeño:

delta_tau = -T * math.sqrt(1 - 2*Phi) * kappa * (-math.expm1(-2*xi*Phi))

o bien, para \(2\xi\Phi<10^{-8}\), la expansión asintótica

11.4 Verificación cruzada a 60 dígitos

Para eliminar toda duda, todos los resultados de esta tesis se han calculado por dos vías algebraicamente independientes:

1. La forma cerrada (11.3), evaluada en el módulo decimal de Python con precisión de 60 dígitos significativos.
2. La resta directa \(T\sqrt{1-2\Phi}\,\beta_{\rm loc}-T\sqrt{1-2\Phi}\), evaluada también en decimal a 60 dígitos.

La segunda vía sigue sufriendo cancelación, pero con 60 dígitos disponibles y una pérdida de \(\sim\!16\), quedan \(\sim\!44\) dígitos correctos: más que suficientes para validar la primera.

La discrepancia relativa máxima observada es \(4{,}97\times10^{-40}\), consistente con el error de redondeo esperado a 60 dígitos tras la cancelación. Las dos vías coinciden.

11.5 Ingeniería inversa de los parámetros fiduciales

El preprint v7 no declara explícitamente los valores de \((\kappa,\xi)\) empleados en sus tablas. Se han reconstruido a partir de los dos únicos datos no nulos disponibles.

Para \(r/r_{s}=q\), el potencial es \(\Phi=1/(2q)\). De la tabla de agujeros negros:

Su cociente elimina \(\kappa\):

La ecuación (11.5) tiene solución única \(\xi=1{,}0000\) (comprobación: \((1-e^{-0{,}90909})/(1-e^{-0{,}2})=0{,}59705/0{,}18127=3{,}2937\), acuerdo a cuatro cifras). Sustituyendo en cualquiera de las dos relaciones:

11.6 Protocolo de cálculo adoptado

Todos los resultados numéricos de esta tesis siguen el siguiente protocolo, implementado en tesis/codigo/twin_core.py (anexo B):

1. Precisión. Módulo decimal de la biblioteca estándar de Python con getcontext().prec = 60. No se usa coma flotante binaria en ningún paso del cálculo físico.
2. Constantes. Introducidas como cadenas literales, no como flotantes, para evitar el error de conversión decimal→binario→decimal. Valores CODATA 2018 e IAU 2015.
3. Forma cerrada obligatoria. Ninguna cantidad pequeña se obtiene por resta de cantidades grandes. Toda diferencia se reescribe algebraicamente antes de evaluarse.
4. Doble vía. Cada resultado se calcula por dos caminos independientes y se compara.
5. Trazabilidad. Cada tabla del documento se genera por un script identificado (generar_tablas.py) que escribe el CSV correspondiente en tesis/datos/.
6. Reproducción del error. La función delta_tau_float64_naive() reproduce deliberadamente el procedimiento defectuoso, para documentar el artefacto.

11.7 Corrección del resultado terrestre

Aplicando el protocolo, el resultado correcto para el emplazamiento que el preprint reportaba como cero es:

11.8 Lección metodológica general

El episodio ilustra un riesgo general en la física computacional de precisión. Cuando una teoría predice desviaciones de orden \(\epsilon\) sobre una cantidad de orden unidad, y \(\epsilon\) es menor que la precisión de máquina, el cálculo ingenuo devuelve exactamente el resultado de la teoría no modificada. El programa «confirma» la hipótesis nula por construcción.

La única defensa es estructural: nunca calcular una diferencia pequeña como resta de dos números grandes. Reescribir el álgebra primero. Este principio, elemental en análisis numérico Higham, 2002, se viola con frecuencia en trabajos exploratorios donde el foco está en la física y no en la aritmética. El presente caso es un ejemplo didáctico casi perfecto y se documenta aquí con ese propósito.

Campo terrestre: GNSS, torres, satélites y el límite de lo alcanzable

La Tierra es el laboratorio donde la metrología es mejor y el potencial es peor. Este capítulo cuantifica exactamente cuánto falta para que la señal del modelo sea visible desde aquí, y la respuesta condiciona todo lo que sigue.

12.1 Configuración y magnitudes de referencia

El potencial newtoniano adimensional en la superficie terrestre es

El gradiente local es \(d\Phi/dh=-g/c^{2}=-1{,}0910\times10^{-16}\ \mathrm{m^{-1}}\): un metro de altura cambia el ritmo relativo del reloj en \(1{,}09\times10^{-16}\), la cantidad que los relojes ópticos de la última década han hecho rutinariamente medible.

12.2 Resultados: \(\Delta\tau\) por emplazamiento

Dos observaciones inmediatas. Primera: ninguna fila da cero; el preprint reportaba diez ceros donde hay diez valores distintos. Segunda: la columna \(\alpha_{\rm LPI}\) es constante a cinco cifras. Esto es exactamente lo esperado: con \(\xi=1\) y \(\Phi\sim10^{-10}\), el argumento del exponencial es \(2\xi\Phi\sim10^{-9}\) y el apantallamiento es despreciable. En la Tierra el modelo está en régimen completamente no apantallado, y por tanto \(\xi\) es inmedible aquí, como anticipaba §10.6.

12.3 La cantidad que importa: la señal diferencial

Por el corolario 10.3, la tabla anterior no contiene observables. El observable es la señal diferencial entre dos relojes, ecuación (10.2). Para dos alturas sobre la Tierra, con \(2\xi\Phi\ll1\):

La señal del modelo es, sencillamente, el parámetro LPI multiplicado por la diferencia de potencial. Y la señal de la Relatividad General en la misma configuración es \(\Delta\Phi\). Por tanto la razón señal-twin / señal-GR es exactamente \(\alpha_{\rm LPI}=2\kappa\xi=2\times10^{-12}\), con independencia de la configuración. Ninguna elección de alturas mejora esa razón.

La columna \(S_{\rm GR}\) reproduce, como control, los valores clásicos bien conocidos: los 45,7 µs/día de los relojes GPS y los 51,1 µs/día de la órbita geoestacionaria. Su coincidencia con los valores tabulados en la literatura de navegación por satélite valida la implementación.

12.4 El veredicto terrestre

12.5 ¿Y si \(\xi\) fuera enorme?

Todo lo anterior supone \(\xi=1\). Merece explorarse el escenario opuesto, porque cambia el diagnóstico cualitativamente.

El apantallamiento se activa cuando \(2\xi\Phi\gtrsim1\), es decir

Para \(\xi\) de ese orden, el modelo entra en régimen apantallado en la superficie terrestre, y la señal diferencial deja de ser proporcional a \(\Delta\Phi\) para volverse exponencialmente suprimida. Concretamente:

La consecuencia es paradójica pero importante: la Tierra pierde sensibilidad justo cuando el acoplo \(\alpha_{0}=2\kappa\xi\) se hace grande, porque un \(\xi\) grande implica también un apantallamiento activo. Este es el origen de la «zona ciega» que aparecerá en la región de exclusión del capítulo 17.

El máximo de sensibilidad terrestre se alcanza, por búsqueda ternaria a 60 dígitos, en \(\xi=1{,}349\times10^{9}\), donde \(2\xi\Phi_\oplus=1{,}88\). Esta observación tiene valor operativo: si se quisiera diseñar un experimento terrestre óptimo sin conocer \(\xi\), habría que buscar precisamente esa ventana.

Conviene entender el colapso de la última fila. Para \(\xi\) muy grande, la señal \(S=\kappa(e^{-2\xi\Phi_{\rm GPS}}-e^{-2\xi\Phi_{\rm mar}})\) está dominada por la exponencial del reloj más somero —el de mayor altitud, con \(\Phi\) menor— y no por la del más profundo. Con \(\xi=10^{12}\) y \(\Phi_{\rm GPS}=1{,}669\times10^{-10}\) se tiene \(2\xi\Phi=334\), de donde \(e^{-334}\approx10^{-145}\) y \(S\approx10^{-157}\). La cifra correcta es 460 órdenes de magnitud mayor que la que resultaría de usar por error el potencial del reloj profundo.

12.6 Qué acota realmente el experimento Galileo

Los satélites Galileo GSAT0201/0202 miden \(\alpha_{\rm LPI}\) entre 17 180 y 26 020 km de altitud, es decir en el rango \(\Phi\in[1{,}369\times10^{-10},\,1{,}883\times10^{-10}]\), con valor medio \(\bar\Phi=1{,}63\times10^{-10}\). Su cota \(|\alpha|<1{,}9\times10^{-5}\) se traduce en

En el régimen no apantallado (\(\xi\lesssim10^{9}\)) el exponencial vale prácticamente 1 y

que es la cota que se usará como referencia en todo el resto de la tesis. Con la cota de Delva et al. por separado, \(\kappa\xi<1{,}24\times10^{-5}\); con la de Herrmann et al., \(1{,}55\times10^{-5}\).

El valor fiducial \(\kappa\xi=10^{-12}\) está, por tanto, un factor \(9{,}5\times10^{6}\) por debajo de la cota. El modelo v7 es compatible con Galileo con casi siete órdenes de magnitud de margen. Ser compatible con siete órdenes de margen es, desde el punto de vista del método científico, una propiedad ambigua: garantiza la supervivencia pero elimina el riesgo, y una hipótesis sin riesgo no informa.

12.7 Perspectiva: ACES y más allá

La misión ACES/PHARAO, operativa desde 2025 en la Estación Espacial Internacional, apunta a \(|\alpha|<2\times10^{-6}\), lo que daría \(\kappa\xi<10^{-6}\). Su geometría —órbita a 400 km, \(\Phi=6{,}54\times10^{-10}\)— es menos favorable que la de Galileo en cuanto a \(\Delta\Phi\), pero compensa con relojes mucho mejores y con un enlace de microondas de doble frecuencia diseñado específicamente para la tarea.

Propuestas posteriores de relojes ópticos en órbita elíptica alta podrían alcanzar \(|\alpha|\sim10^{-8}\)–\(10^{-9}\). Ese límite no es arbitrario, y conviene explicar por qué.

Con ese suelo, un experimento terrestre queda todavía tres órdenes de magnitud por encima del valor fiducial. La conclusión estructural del capítulo se mantiene y se refuerza: hay que salir del pozo terrestre, y no solo por la señal, también por el sistemático. El capítulo 13 examina el siguiente pozo disponible y encuentra allí la misma dificultad en forma más benigna.

Campo solar: el pozo accesible más profundo

El Sol ofrece potenciales tres órdenes de magnitud mayores que la Tierra y, a diferencia del campo fuerte de los agujeros negros, es alcanzable con tecnología existente. Este capítulo cuantifica la ganancia, identifica el sistemático estructural que la limita —la degeneración con \(GM_\odot\)— y determina en qué región del espacio de parámetros el experimento es realmente decisivo.

13.1 Escalas del problema

El potencial adimensional solar es

de donde \(\Phi_\odot(R_\odot)=2{,}1225\times10^{-6}\) en la fotosfera y \(\Phi_\odot(1\,\mathrm{UA})=9{,}8706\times10^{-9}\) en la órbita terrestre. El contraste con \(\Phi_\oplus=6{,}96\times10^{-10}\) es de un factor 3050 entre la fotosfera solar y la superficie terrestre.

Más importante que el valor absoluto es el contraste alcanzable. Una sonda que se acerque a 10 \(R_\odot\) y se compare con un reloj a 1 UA opera con

que es 291 veces mayor que el mejor contraste terrestre concebible (mar↔infinito, \(\Delta\Phi=6{,}961\times10^{-10}\)) y 382 veces el de la configuración realizable mar↔GPS (\(\Delta\Phi=5{,}292\times10^{-10}\)). Ese factor es el que decide todo lo que sigue.

13.2 Resultados

De nuevo, la columna \(\Delta\tau\) es auxiliar; la señal es la penúltima columna. La última columna contiene el resultado operativo de la tesis, y merece destacarse.

13.3 El punto de inflexión

El origen del salto es puramente geométrico: la señal escala como \(\Delta\Phi\) y el tiempo de integración como \(\Delta\Phi^{-2}\). El contraste solar \(\Delta\Phi=2{,}024\times10^{-7}\) supera al mejor contraste terrestre (mar↔infinito, \(6{,}961\times10^{-10}\)) en un factor 291, y al de la configuración mar↔GPS en un factor 382. El cuadrado del primero, \(291^{2}=8{,}45\times10^{4}\), es exactamente la mejora en tiempo de integración citada. El campo solar no es «un poco mejor» que el terrestre: es cualitativamente otro régimen.

13.4 La degeneración con \(GM_\odot\): el límite estructural

Antes de discutir la ingeniería hay que enfrentar un problema de principio que ningún avance instrumental resuelve por sí solo.

En el régimen no apantallado, la desviación predicha por el modelo respecto de la Relatividad General es

es decir, exactamente proporcional a \(\Phi\), con la misma dependencia radial que el término de Relatividad General. Lo que una comparación de relojes mide no es \(\alpha_{0}\) sino el producto

Es esencial entender por qué la determinación de \(GM_\odot\) mediante efemérides es independiente y no circular. Las efemérides se ajustan a la dinámica orbital de los planetas, y el acoplo conforme afecta a la dinámica solo en orden \(\alpha_{0}^{2}\sim10^{-24}\) (§7.3): un efecto veinte órdenes de magnitud menor que la incertidumbre. La dinámica proporciona, por tanto, \(GM_\odot\) libre de contaminación por el modelo, y el corrimiento al rojo lo pone a prueba. La cadena lógica es la misma que hace posible el test de Galileo, donde \(GM_\oplus\) se conoce a \(2\times10^{-9}\) relativo y no limita una medida de \(\alpha\) a \(10^{-5}\).

13.5 Viabilidad tecnológica

La propuesta no es especulativa en cuanto a la trayectoria: la Parker Solar Probe alcanzó un perihelio de \(\approx6{,}1\times10^{6}\) km de la superficie solar en diciembre de 2024, es decir \(\approx9{,}8\ R_\odot\) del centro. Para una órbita con ese perihelio y afelio en 0,7 UA, la velocidad en el punto más próximo es

en concordancia con el récord de la Parker Solar Probe (690 000 km/h). La órbita requerida ya se ha volado.

Los problemas reales son otros tres y conviene enunciarlos sin optimismo.

(a) Entorno térmico. A 10 \(R_\odot\) el flujo solar es \(\sim\!470\) veces el de 1 UA, unos \(6{,}4\times10^{5}\ \mathrm{W\,m^{-2}}\). El escudo de la Parker Solar Probe alcanza 1400 °C en su cara solar mientras la instrumentación se mantiene cerca de temperatura ambiente. Un reloj óptico exige estabilidad térmica de milikelvin en la cavidad de referencia: es un salto de ingeniería considerable, aunque no de física.

(b) Doppler de segundo orden. De (13.7),

comparable al propio término gravitatorio \(\Phi=2{,}122\times10^{-7}\) —como debe ser en una órbita muy excéntrica, donde \(v^{2}/2\approx GM_\odot/r\) en el perihelio— y unos doce órdenes de magnitud mayor que la señal buscada. Para que su residuo caiga por debajo de \(S/3\) hace falta

La radiociencia de Cassini alcanzó \(\sim\!10^{-5}\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) en promedios largos: falta un factor \(\approx160\), no un factor mil. La arquitectura estándar —enlace coherente de doble vía, que mide el Doppler sobre la misma portadora que transporta la señal de reloj— traslada el problema a la estabilidad del oscilador de referencia, que es justamente lo que el reloj óptico proporciona.

(c) Momento cuadrupolar solar. El achatamiento \(J_{2}\approx2{,}2\times10^{-7}\) contribuye al potencial con un término \(\sim J_{2}(R_\odot/r)^{2}\Phi\), que a 10 \(R_\odot\) vale \(4{,}7\times10^{-16}\): tres órdenes por encima de la señal. \(J_{2}\) se conoce hoy al \(\sim\!1\%\), lo que deja un residuo de \(5\times10^{-18}\), aún un factor 38 por encima del objetivo. Haría falta mejorar \(J_{2}\) en un orden y medio de magnitud, algo que la propia misión permitiría con órbitas múltiples y distintos perihelios: la dependencia \((R_\odot/r)^{2}\) del término cuadrupolar difiere de la \((R_\odot/r)^{0}\) del monopolo, y varias pasadas la separan.

13.6 Sensibilidad en \(\kappa\)

Invirtiendo el cálculo: ¿qué valor mínimo de \(\kappa\) sería detectable con un año de integración?

La sensibilidad fraccional a \(5\sigma\) tras \(T=1\) año con \(\sigma_{0}=3{,}5\times10^{-16}\) es

Y como \(S=\kappa\,(e^{-2\xi\Phi_{B}}-e^{-2\xi\Phi_{A}})\), el mínimo detectable es \(\kappa_{\min}=\Sigma_{5\sigma}/(e^{-2\xi\Phi_{B}}-e^{-2\xi\Phi_{A}})\).

13.7 Alternativas sin sonda: la modulación anual

Existe una vía terrestre indirecta que aprovecha el campo solar sin salir de la Tierra. La órbita terrestre tiene excentricidad \(e=0{,}0167\), de modo que el potencial solar en la Tierra varía a lo largo del año en

Un reloj en tierra experimenta, por tanto, una modulación anual de su ritmo de amplitud \(3{,}3\times10^{-10}\) debida a la Relatividad General, y de amplitud \(2\kappa\xi\times3{,}3\times10^{-10}=6{,}6\times10^{-22}\) debida al modelo twin. Esta es la clásica prueba de LPI por modulación anual.

La ventaja es que la señal es periódica con periodo perfectamente conocido, lo que permite detección sincrónica y rechazo de derivas. La desventaja es que \(6{,}6\times10^{-22}\) es aún menor que la mejor configuración terrestre pura (\(1{,}39\times10^{-21}\)). No resuelve el problema, pero es la mejor prueba realizable sin sonda espacial y merece mencionarse porque su coste es esencialmente nulo: los datos ya se toman de forma rutinaria en las comparaciones de relojes entre laboratorios nacionales.

13.8 Resumen

Campo fuerte: agujeros negros, invariancia de escala y el extremo inesperado

Es el régimen donde el modelo produce sus números más llamativos y donde el preprint concentró sus resultados. Este capítulo demuestra dos teoremas estructurales que el preprint no advirtió y matiza severamente el valor observacional del régimen.

14.1 Planteamiento

Para un observador estático a coordenada radial \(r\) en el exterior de un agujero negro de Schwarzschild de radio \(r_{s}=2GM/c^{2}\), el potencial adimensional es

El rango físico para observadores estáticos es \(q>1\), es decir \(\Phi<1/2\). El límite \(q\to1^{+}\) corresponde al horizonte de sucesos.

14.2 Primer teorema: invariancia de escala

La consecuencia es contraintuitiva y merece verificarse numéricamente. Un agujero negro estelar de 10 \(M_\odot\) y el agujero negro supermasivo de M87 difieren en masa por un factor \(6{,}5\times10^{8}\) y en radio de Schwarzschild por el mismo factor. Sin embargo:

Coincidencia exacta a las doce cifras mostradas. Esta invariancia estaba implícita en las tablas del preprint —donde las filas de «BH estelar» y «SMBH» daban idénticos \(\Delta\tau\)— pero no se identificaba como propiedad estructural. Lo es, y tiene una consecuencia importante:

14.3 Resultados en campo fuerte

Las dos primeras filas reproducen exactamente los valores del preprint v7 (−15,552359400317073 y −14,013494364917278 ns/día para \(q=1{,}1\) y \(q=5\)), lo que valida la implementación y confirma la reconstrucción de parámetros del §11.5.

14.4 Segundo teorema: el efecto se anula en el horizonte

Inspeccionando la columna \(\Delta\tau\) se observa algo que el preprint no comentaba: el efecto no crece monótonamente al acercarse al horizonte. Alcanza un máximo y luego decrece hacia cero.

La interpretación física es la siguiente. \(\Delta\tau\) mide el desfase acumulado por unidad de tiempo coordenado, es decir, por unidad de tiempo del observador lejano. Cerca del horizonte, el reloj local avanza tan lentamente que en un día del observador lejano apenas transcurre tiempo propio: aunque la fracción de desviación sea máxima (\(\to\kappa(1-e^{-\xi})\)), el tiempo acumulado tiende a cero.

Formulado en términos de la desviación fraccional —la magnitud físicamente pertinente por el capítulo 10— no hay tal máximo: \(1-\beta_{\rm loc}\) crece monótonamente hacia \(\kappa(1-e^{-\xi})\). El máximo de la tabla es, por tanto, un artefacto de la elección de normalización del preprint, y su aparición confirma la advertencia del §10.5 sobre leer \(\Delta\tau\) como si fuera un observable.

14.5 El apantallamiento y su firma

La última columna de la tabla de §14.3 contiene la información físicamente interesante del régimen: la supresión del acoplo,

En el horizonte (\(q=1\)) la supresión es \(e^{-\xi}\). Para \(\xi=1\) el acoplo se reduce al 36,8 % de su valor asintótico; para \(\xi=5\), al 0,67 %.

14.6 ¿Es observable el régimen de campo fuerte?

Aquí la evaluación debe ser severa. Los −15,6 ns/día del preprint son un número impresionante, pero no se refieren a nada medible por tres razones acumulativas.

(a) No hay relojes. No existe ni existirá un reloj atómico a \(1{,}1\,r_{s}\) de un agujero negro. Las únicas sondas disponibles son espectroscópicas: líneas de emisión de material acretante, cuya frecuencia en reposo se conoce pero cuyo estado dinámico (velocidad orbital, turbulencia, ensanchamiento) introduce incertidumbres muy superiores a \(10^{-12}\).

(b) La precisión disponible es \(\sim\!10^{-1}\). La medida de GRAVITY sobre S2 da \(f=1{,}04\pm0{,}05\), es decir, un 5 % en \(\Phi\approx3{,}5\times10^{-4}\). Para ver \(\alpha=2\times10^{-12}\) haría falta mejorar en once órdenes de magnitud.

(c) Las líneas de hierro de discos de acreción, que sondean \(q\sim3\)–\(10\), tienen perfiles dominados por efectos Doppler relativistas y por la geometría del disco. La incertidumbre sistemática en la determinación del corrimiento gravitatorio es de decenas de por ciento.

14.7 Estrellas de neutrones y enanas blancas

Entre el sistema solar y los agujeros negros hay objetos compactos con potenciales intermedios y espectroscopía mucho mejor caracterizada.

Con \(\xi=1\), ningún objeto compacto accesible muestra apantallamiento apreciable salvo las estrellas de neutrones, y ahí la precisión espectroscópica es del 20 %. Si \(\xi\) fuese \(\sim\!10^{4}\), en cambio, las enanas blancas mostrarían \(\alpha/\alpha_{0}=e^{-4{,}8}=0{,}008\): una supresión del 99 %, potencialmente visible. El valor de \(\xi\) determina qué clase de objeto es el laboratorio adecuado, y ese es un argumento a favor de explorar el espacio de parámetros en lugar de fijar \(\xi=1\).

14.8 Resumen

1. El efecto depende exclusivamente de \(r/r_{s}\) (teorema 14.1), verificado a doce cifras sobre catorce órdenes de magnitud en masa. No hay ventaja en objetos más masivos.
2. \(|\Delta\tau|\) por unidad de tiempo coordenado alcanza un máximo en \(r/r_{s}=1{,}6829\) y se anula en el horizonte (teorema 14.2). Este máximo es un artefacto de normalización, no un efecto físico.
3. El apantallamiento reduce el acoplo a \(e^{-\xi}\) en el horizonte, dando la firma exclusiva del modelo.
4. Ningún instrumento actual o previsible alcanza la precisión necesaria en este régimen. El campo fuerte queda descartado como vía de contraste.

Diseño experimental: estadística, sistemáticos y la misión decisiva

Un modelo falsable exige un protocolo de falsación explícito. Este capítulo construye el análisis estadístico completo, cuantifica los sistemáticos dominantes y especifica la misión que decidiría el asunto.

15.1 Modelo estadístico

La comparación de dos relojes produce una serie temporal de diferencias de frecuencia fraccionales \(y(t)\). Su estabilidad se caracteriza mediante la desviación de Allan

donde \(\bar y_{k}\) son promedios sobre intervalos de duración \(\tau\). Para ruido blanco de frecuencia —régimen dominante en relojes ópticos limitados por proyección cuántica— se cumple

La condición de detección a \(n\) sigmas de una señal constante \(S\) es \(n\,\sigma_{y}(T)\le|S|\), es decir

La dependencia cuadrática es la clave del diseño: duplicar la señal reduce el tiempo por cuatro. Por eso el factor 291 de contraste de potencial que ofrece el Sol frente al mejor caso terrestre se convierte en un factor \(291^{2}=8{,}45\times10^{4}\) en tiempo de misión.

15.2 Parámetros de los relojes considerados

Se adopta el \(^{27}\)Al\(^{+}\) como referencia por combinar exactitud récord con robustez frente a perturbaciones ambientales —su transición de reloj tiene sensibilidad excepcionalmente baja al desplazamiento de radiación de cuerpo negro, propiedad crítica en un entorno solar—.

15.3 Presupuesto de sistemáticos de la misión solar

El diseño se refiere a una sonda con reloj óptico a bordo, en órbita muy excéntrica con perihelio a 10 \(R_\odot\), comparada por enlace coherente con un reloj de referencia a 1 UA. La señal buscada es \(S=4{,}05\times10^{-19}\).

El plasma coronal es el segundo problema serio: a 10 \(R_\odot\) la densidad electrónica es \(\sim\!10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\) y el retardo de grupo es enorme y fluctuante. La mitigación estándar es el enlace en banda Ka o, mejor, un enlace óptico, cuyo retardo de plasma es \(\sim\!10^{5}\) veces menor que en microondas. Un enlace láser espacio-espacio a 1 UA es tecnología que LISA está desarrollando.

15.4 Estrategia de observación

La órbita excéntrica proporciona una ventaja decisiva que conviene explotar explícitamente: la señal es modulada. A lo largo de una órbita, \(\Phi\) varía entre su valor en perihelio y en afelio, y con ella la señal del modelo:

Esta modulación tiene periodo perfectamente conocido —el periodo orbital— y fase conocida. Un análisis de detección sincrónica (lock-in) a esa frecuencia rechaza toda deriva no correlacionada, incluidos los envejecimientos de reloj y las derivas térmicas estacionales. Es exactamente la estrategia que hizo posible el resultado de Galileo, y es la razón por la que una órbita excéntrica es preferible a una órbita circular baja.

15.5 Especificación de la misión decisiva

El producto científico es doble, y conviene ordenarlo por robustez.

Primero, y principal: la razón \(\mathcal{R}\). Es un observable adimensional construido con dos medidas del mismo instrumento, de modo que no depende de \(GM_\odot\): la masa solar se cancela en el cociente. Es, por tanto, inmune al sistemático dominante y constituye el resultado más sólido de la misión. Determina \(\xi\) directamente:

Con una precisión del 10 % en \(\mathcal{R}\), la misión distinguiría \(\xi=0\) de \(\xi\gtrsim2{,}6\times10^{5}\). Para valores menores de \(\xi\) —incluido el fiducial \(\xi=1\)— el resultado sería \(\mathcal{R}=1\) dentro de errores.

Segundo, condicionado: la amplitud \(\alpha_{0}\). Aquí la misión choca con la degeneración del resultado 13.2. Su alcance depende del régimen:

La última fila es la que alcanzaría el valor fiducial \(\alpha_{0}=2\times10^{-12}\), y exige una mejora de dos órdenes de magnitud en la determinación de \(GM_\odot\). Esa mejora es un objetivo legítimo de la radiociencia planetaria y no depende de la misión propuesta: BepiColombo y las efemérides INPOP/DE de nueva generación avanzan en esa dirección. El experimento de reloj y la mejora de efemérides son, por tanto, requisitos complementarios y no alternativos.

15.6 Barridos de sensibilidad

Complementariamente, la sensibilidad en \(\kappa\) alcanzable tras un año se recoge en la figura 16 del capítulo 13. Su lectura operativa es directa: cualquier configuración cuya barra caiga a la izquierda de \(\kappa=10^{-12}\) constituye un test decisivo del modelo fiducial.

15.7 Test complementarios de bajo coste

Aunque la misión solar es la única decisiva, existen tres tests de coste marginal que conviene ejecutar mientras tanto, porque acotan regiones distintas del espacio de parámetros.

Test A · Modulación anual en relojes terrestres. Reanalizar las comparaciones existentes entre laboratorios nacionales de metrología buscando la modulación de periodo anual de amplitud \(2\kappa\xi\times3{,}3\times10^{-10}\). Coste: nulo (datos ya tomados). Alcance: \(\kappa\xi\lesssim10^{-8}\) con los mejores enlaces actuales.

Test B · ACES/PHARAO. La misión ya en vuelo alcanzará \(\alpha<2\times10^{-6}\), es decir \(\kappa\xi<10^{-6}\). No requiere acción adicional; sus datos deben analizarse con el modelo \(\alpha(\Phi)\) en lugar de con \(\alpha\) constante, para extraer información sobre \(\xi\) aprovechando el rango de altitudes de la ISS.

Test C · Búsqueda de \(\xi\) grande en enanas blancas. Si \(\xi\gtrsim10^{4}\), el apantallamiento sería visible en el corrimiento gravitatorio de superficie de enanas blancas (\(\Phi\sim10^{-4}\)–\(10^{-3}\)). La espectroscopía de Sirio B alcanza hoy el 6 %; con espectrógrafos de nueva generación podría llegarse al 1 %, lo que sondearía \(\xi\gtrsim10^{4}\) para \(\kappa\xi\) próximo a la cota de Galileo. Coste: tiempo de telescopio.

15.8 Criterio de decisión

Cosmología observacional: dilatación temporal y el vacío empírico de \(\beta_{\rm cos}\)

El sector cosmológico produce los números más grandes del modelo y, paradójicamente, la menor cantidad de física. Este capítulo hace el cálculo completo, deriva la única cota disponible y demuestra por qué esa cota es lo único que puede obtenerse.

16.1 La dilatación temporal cosmológica en el modelo

Considérese un proceso astrofísico —la curva de luz de una supernova, la variabilidad de un cuásar— que ocurre a factor de escala \(a_{e}\) y se observa hoy (\(a_{0}=1\)). Sea \(\Delta\tau_{\rm int}\) su duración medida en el tiempo propio de la materia que lo produce.

El paso al tiempo coordenado en la emisión requiere dividir por el factor de ritmo local:

La expansión estira el intervalo coordenado de la forma habitual, puesto que la propagación de la luz es un fenómeno de la métrica y no del acoplo:

Y el observador mide esa duración con su propio reloj, cuyo ritmo es \(\beta_{\rm cos}(a_{0})\):

Componiendo:

Linealizando en \(\chi\):

16.2 El problema: \(\Delta\tau_{\rm int}\) también se reescala

El cálculo anterior contiene una hipótesis tácita que resulta ser falsa bajo los postulados del modelo, y este es el punto crítico del capítulo.

\(\Delta\tau_{\rm int}\) —la duración intrínseca del proceso— no es una constante universal. Es el resultado de física atómica y nuclear: para una supernova de tipo Ia, del tiempo de desintegración del \(^{56}\)Ni y de la opacidad del material eyectado. Ambos dependen de las escalas de masa. Y por el postulado P3, todas las escalas de masa se reescalan por \(A(\theta)\), de modo que

Dicho con precisión: la duración del proceso medida por un reloj comóvil con el emisor es la misma en todas las épocas, porque tanto el proceso como el reloj se reescalan solidariamente. Pero al sustituir en (16.1), lo que hay que dividir por \(\beta_{\rm cos}(a_{e})\) es esa duración propia local, y el factor vuelve a aparecer. La cancelación se produce en un lugar distinto.

16.3 Qué mide entonces la cota de supernovas: el parámetro \(\varepsilon\)

Lo anterior podría llevar a concluir que el dato de White et al. es inútil para el modelo. No lo es, pero exige introducir explícitamente el grado de libertad que la cancelación deja libre. De lo contrario se caería en la incoherencia de derivar una cota a partir de una expresión que el propio teorema 16.2 acaba de anular.

Con esta definición, la fracción de la señal que sobrevive a la cancelación es \(\varepsilon\) y la ecuación (16.6) se convierte en

La medida \(b=1{,}003\pm0{,}005_{\rm stat}\pm0{,}010_{\rm sys}\) acota, por tanto, el producto \(\varepsilon\chi\), no \(\chi\). Evaluando en \(z=1\) con \(p=1\) y \(|b-1|<0{,}022\) a \(2\sigma\):

16.4 Otros canales cosmológicos

Se examinan brevemente los tres canales cosmológicos restantes y se concluye que ninguno mejora la cota.

(a) Fondo cósmico de microondas. Un acoplo conforme reescala la temperatura del CMB y las masas de las partículas solidariamente, dejando invariante la razón \(T/m\) que determina las épocas de recombinación y de igualdad. El espectro de potencias resultante es idéntico. Solo la contribución de \(\rho_{\theta}\) a \(H(z)\) sería visible, lo que remite al canal (c).

(b) Nucleosíntesis primordial. La abundancia de \(^{4}\)He depende de la razón \(H/\Gamma_{\rm weak}\) en el desacoplo de los neutrinos. Ambas se escalan como \(A^{-1}\) bajo una transformación conforme, de modo que la razón —y con ella la abundancia— es invariante. El canal es ciego al acoplo conforme puro.

(c) Historia de expansión \(H(z)\). Este es el canal vivo. Si \(\theta\) contribuye a la densidad de energía, \(H(z)\) se modifica y la combinación de BAO, supernovas y CMB lo detecta. Los resultados de DESI favorecen actualmente una ecuación de estado que evoluciona respecto de \(w=-1\) DESI Collaboration, 2025, lo cual es cualitativamente compatible con quintaesencia de rodadura. Convertir esa compatibilidad cualitativa en una cota sobre \(\chi\) exige especificar \(V(\theta)\), lo que el modelo no hace.

16.5 La patología del futuro, revisitada

Se recuerda el resultado del §8.3: la forma \(1-\chi a^{p}\) se anula en \(a_{\rm fin}=\chi^{-1/p}\). Si se tomase la cota (16.9) al pie de la letra con \(\varepsilon=1\), es decir \(\chi<3{,}05\times10^{-2}\), resultaría \(a_{\rm fin}>32{,}8\) para \(p=1\). Con \(\varepsilon\to0\) —el caso del modelo— la cosmología no acota \(\chi\) y \(a_{\rm fin}\) queda libre; el problema estructural persiste con independencia del valor.

Esto significa que la patología no es un problema observacional —ocurre en un futuro inaccesible— pero sí es un problema estructural: indica que la parametrización no puede ser fundamental. Se reitera la reparación propuesta:

que coincide con la original hasta \(O(\chi^{2})\) y por tanto no altera ninguna cota numérica de este capítulo, pero permanece positiva en todo \(a\).

16.6 Valores numéricos del sector cosmológico

La columna \(b-1\) está calculada con \(\varepsilon=1\), es decir, en la hipótesis más favorable a la detección. Comparada con la incertidumbre de DES-SN5YR, \(\pm0{,}011\), la razón es \(\sim\!6\times10^{-9}\): incluso en ese caso extremo el modelo fiducial sería indistinguible del estándar por ocho órdenes de magnitud. Bajo los postulados del modelo (\(\varepsilon=0\)) la columna se anula idénticamente.

16.7 Deriva secular: por qué no es un observable

Se recupera aquí, para cerrarlo, el punto del §8.5. La deriva fraccional inducida hoy es

Las mejores comparaciones de razones de frecuencia entre relojes ópticos acotan derivas al nivel de \(10^{-18}\ \mathrm{a\tilde no^{-1}}\), aparentemente tres órdenes por encima. Pero por el teorema 10.1 la deriva es común a ambos relojes y se cancela exactamente en la razón. La ecuación (16.11) no corresponde a ningún experimento realizable.

Se registra aquí porque es fácil confundirla con una predicción medible, y porque su magnitud —comparable a la sensibilidad instrumental— la hace especialmente tentadora.

16.8 Balance del sector cosmológico

Contraste con los datos: cotas y región de exclusión

Este capítulo convierte los resultados experimentales del capítulo 3 en restricciones cuantitativas sobre el espacio de parámetros, construye la región de exclusión completa y sitúa en ella el punto fiducial del preprint.

17.1 Traducción de cotas experimentales

Cada experimento de corrimiento al rojo mide la desviación fraccional \(\alpha\) definida en (2.1). Por (7.17), el modelo predice \(\alpha(\Phi)=2\kappa\xi e^{-2\xi\Phi}\), de modo que una cota \(|\alpha|<\alpha_{\rm max}\) medida a potencial \(\bar\Phi\) implica

En el régimen no apantallado (\(2\xi\bar\Phi\ll1\)) el exponencial es la unidad y la cota se reduce a \(\kappa\xi<\alpha_{\rm max}/2\).

17.2 Restricciones adicionales de otros canales

La estructura de la tabla ilustra el punto central del capítulo 2: un acoplo conforme universal es invisible para casi todos los canales, y precisamente por eso el modelo sobrevive. Solo el canal LPI lo constriñe, y lo hace con siete órdenes de margen.

17.3 Construcción de la región de exclusión

El corolario 10.4 establece que el espacio observable es bidimensional. Se representa convencionalmente en el plano \((\xi,\kappa)\), donde cada experimento define una curva \(\kappa_{\max}(\xi)\) por encima de la cual el modelo queda excluido.

Para una configuración con dos relojes a potenciales \(\Phi_{A}>\Phi_{B}\) y una cota \(\alpha_{\max}\), la señal del modelo es \(S=\kappa(e^{-2\xi\Phi_{B}}-e^{-2\xi\Phi_{A}})\) y la señal de referencia de la Relatividad General es \(\Delta\Phi=\Phi_{A}-\Phi_{B}\). La condición de exclusión \(|S/\Delta\Phi|>\alpha_{\max}\) da

Esta expresión tiene tres regímenes característicos:

• \(\xi\ll1/(2\Phi_{A})\): el denominador \(\to2\xi(\Phi_{A}-\Phi_{B})\) y \(\kappa_{\max}\to\alpha_{\max}/(2\xi)\). La curva es una recta de pendiente \(-1\) en escala log-log: el producto \(\kappa\xi\) es lo único acotado, como exige el corolario 10.3.
• \(\xi\sim1/(2\Phi)\): transición. La curva alcanza un mínimo.
• \(\xi\gg1/(2\Phi_{B})\): ambas exponenciales se anulan, el denominador \(\to0\) y \(\kappa_{\max}\to\infty\). El experimento pierde toda sensibilidad: es la zona ciega.

17.4 La zona ciega

Esta observación tiene una consecuencia de diseño de programa: ningún experimento individual puede excluir el modelo. Hace falta una batería que cubra distintos potenciales. El programa escalonado del §15.7 está construido con ese criterio.

17.5 El peso relativo del efecto

Una perspectiva complementaria consiste en preguntar qué fracción del efecto gravitatorio total representaría el término twin. La razón es

17.6 Comparación con el espacio de parámetros de la literatura

Conviene situar las cotas obtenidas frente a las que se manejan en la literatura de teorías escalar-tensoriales. La traducción es \(\alpha_{0}^{\rm(lit)}=2\kappa\xi\).

Es notable que la cota LPI sobre el modelo twin sea 178 veces más fuerte que la cota PPN estándar sobre \(|\alpha_{0}|\). El motivo, ya explicado en §7.3, es que la violación de LPI es lineal en el acoplo mientras que la desviación PPN es cuadrática. Esto sitúa al canal de relojes como el más informativo para esta clase de teorías, lo cual es un resultado de interés más allá del modelo particular.

17.7 Síntesis del contraste

La conclusión es doble y debe enunciarse sin adorno. El modelo sobrevive al contraste con toda la evidencia disponible; y sobrevive con tanto margen que su supervivencia no informa. Un modelo compatible con los datos por siete órdenes de magnitud no está siendo puesto a prueba. Los capítulos 19 y 21 extraen las consecuencias epistemológicas de este hecho.

Comparación con teorías rivales: ¿qué explica el modelo que otros no expliquen?

Una teoría se juzga en competencia. Este capítulo compara el modelo twin con sus alternativas naturales según cinco criterios explícitos y llega a un veredicto matizado.

18.1 Criterios de comparación

Se adoptan cinco criterios, ordenados por peso decreciente:

1. Adecuación empírica. ¿Es compatible con los datos? ¿Explica alguna anomalía?
2. Falsabilidad. ¿Existe un experimento realizable que pueda refutarla?
3. Economía. ¿Cuántos parámetros libres introduce por unidad de fenómeno explicado?
4. Fundamentación. ¿Se deriva de una estructura más profunda o es un ajuste?
5. Fecundidad. ¿Sugiere experimentos, conexiones o preguntas nuevas?

18.2 Los rivales

18.3 Análisis criterio por criterio

Adecuación empírica

Aquí no hay diferencia entre los competidores: todos son compatibles con todos los datos, porque todos se reducen a la Relatividad General en el límite de acoplo pequeño y todos tienen parámetros que pueden hacerse arbitrariamente pequeños. Ninguno explica una anomalía observacional, porque no hay ninguna anomalía observacional en los tests del principio de equivalencia.

Esta es una situación epistemológicamente incómoda pero honesta: el criterio de adecuación empírica no discrimina. Todo el peso recae en los criterios restantes.

Falsabilidad

Aquí sí hay diferencias marcadas, y son desfavorables para el modelo v7.

La Relatividad General es máximamente falsable: cualquier \(\alpha\ne0\) la refuta. Las teorías escalar-tensoriales con parámetros de orden \(10^{-3}\)–\(10^{-5}\) están siendo activamente puestas a prueba ahora: cada mejora experimental recorta su espacio de parámetros. El dilatón runaway hace una predicción cuantitativa —violación del WEP en \(\sim\!10^{-12}\)— que MICROSCOPE se acercó a probar y que su sucesor podría alcanzar.

El modelo twin con \(\kappa\xi=10^{-12}\) no está siendo puesto a prueba por nada, ni lo estará en varias décadas. Su falsabilidad es de principio, no de hecho. Y en el criterio de Popper la distinción importa: una teoría cuyo riesgo es nulo en el horizonte experimental accesible aporta poco.

Economía

El modelo v7 introduce cuatro parámetros. Por el corolario 10.4, dos de ellos (\(\chi\), \(p\)) no corresponden a nada observable. Un modelo con parámetros vacíos es peor que uno sin ellos: añade grados de libertad sin añadir contenido.

La versión reformulada de esta tesis —dos parámetros observables, \(\kappa\xi\) y \(\xi\), con \(\chi\) determinado por la ligadura \(\chi\approx2\kappa\xi\)— es competitiva con la teoría escalar-tensorial estándar de \((\alpha_{0},\beta_{0})\). No es mejor, pero tampoco peor.

Fundamentación

Este es el criterio donde el dilatón runaway gana claramente. Damour, Piazza y Veneziano derivan el acoplo residual de la amplitud de las fluctuaciones primordiales, dentro de un marco de teoría de cuerdas explícito. El modelo twin, según se estableció en el capítulo 5, invoca las cuerdas sin derivar de ellas.

La derivación del capítulo 7 mejora sustancialmente la situación —el ansatz deja de ser arbitrario— pero la derivación es de una teoría efectiva a otra, no desde primeros principios. En el mejor de los casos, el modelo twin queda al nivel de la teoría escalar-tensorial genérica: bien formulada, sin fundamento microscópico.

Fecundidad

Aquí el modelo aporta algo genuino, y conviene reconocerlo.

La parametrización del acoplo directamente en función de \(\Phi\) —en lugar de en función del campo \(\theta\)— es una elección con consecuencias productivas. Hace inmediata la conexión entre teoría y observable, permite formular el discriminante \(\mathcal{R}\) de (9.6) sin álgebra intermedia y sugiere de forma natural el diseño de la misión del capítulo 15, que es una propuesta concreta y realizable.

Es un mérito de presentación más que de contenido, pero en física los méritos de presentación producen experimentos. La literatura de teorías escalar-tensoriales rara vez formula la «dependencia de \(\alpha\) con la profundidad del pozo» como observable primario, y el modelo twin lo hace inevitable.

18.4 Predicciones diferenciales

Para que la comparación sea operativa hay que identificar un experimento capaz de distinguir las teorías entre sí, no solo cada una de la Relatividad General.

18.5 El criterio de la navaja

Queda una pregunta incómoda: si el modelo twin no explica ninguna anomalía, ¿por qué preferirlo a la Relatividad General pura, que tiene cero parámetros?

La respuesta honesta es: no hay razón para preferirlo. Por el criterio de parsimonia, la Relatividad General gana. El modelo twin —como toda teoría escalar-tensorial— solo se justifica como hipótesis alternativa contra la que contrastar.

Esta función no es trivial. La física experimental necesita hipótesis alternativas bien parametrizadas para dar sentido a sus cotas: decir «\(|\alpha|<1{,}9\times10^{-5}\)» es informativo solo si existe una clase de teorías donde \(\alpha\ne0\). El formalismo PPN entero se construyó con esa lógica Will, 2014.

18.6 Veredicto

La distancia entre las dos últimas filas —2,9 puntos sobre 10— mide exactamente lo que aporta el trabajo de esta tesis. No se ha demostrado que el modelo sea correcto; se ha demostrado que puede formularse de manera que merezca ser contrastado.

Programa de falsación: cómo matar esta teoría

Una teoría que no especifica de antemano qué la refutaría no es una teoría. Este capítulo declara, con precisión numérica y antes de cualquier dato nuevo, las condiciones bajo las cuales el modelo twin debe considerarse muerto.

19.1 El problema de la inmunización

Toda teoría con un parámetro de amplitud libre puede sobrevivir a cualquier resultado nulo reduciendo el parámetro. Si ACES mide \(\alpha<2\times10^{-6}\), basta con declarar \(\kappa\xi<10^{-6}\) y continuar. Si una misión solar mide \(\alpha<2\times10^{-12}\), basta con \(\kappa\xi<10^{-12}\). El proceso no tiene fin.

Popper llamó a esto inmunización y lo identificó como el mecanismo que separa la ciencia de la pseudociencia Popper, 1959. Lakatos matizó que las modificaciones defensivas son legítimas si el programa de investigación es progresivo —si cada modificación predice hechos nuevos— y degenerativas si solo salvan los fenómenos ya conocidos Lakatos, 1970.

19.2 Tres niveles de refutación

Se distinguen tres niveles, de menor a mayor severidad.

Nivel 1 · Refutación del punto fiducial. Los valores concretos del preprint (\(\kappa=10^{-12}\), \(\xi=1\), \(\chi=10^{-10}\), \(p=1\)) quedan refutados si un experimento mide \(\alpha_{0}\) compatible con cero con incertidumbre inferior a \(2\times10^{-12}\).

Nivel 2 · Refutación del mecanismo. El rasgo distintivo del modelo —el apantallamiento— queda refutado si se mide \(\alpha\ne0\) pero con \(\mathcal{R}=\alpha(\Phi_{1})/\alpha(\Phi_{2})=1\) a precisión suficiente. El modelo se reduciría entonces a una teoría escalar-tensorial ordinaria, perdiendo su razón de ser.

Nivel 3 · Refutación de la clase. La clase entera de modelos con acoplo conforme queda refutada si se detecta violación del WEP incompatible con \(A(\theta)\) universal, o si se detecta \(c_{g}\ne c\), o si se mide \(\alpha\) creciente con \(\Phi\) (que violaría la condición de estabilidad del atractor, §9.3).

19.3 Las pruebas preinscritas

19.4 Compromiso metodológico

19.5 Qué no refutaría el modelo

Simétricamente, conviene declarar qué resultados no deben considerarse refutaciones, para evitar tanto la inmunización como el abandono precipitado.

• Un resultado nulo en tests de quinta fuerza. El modelo predice un efecto cuadrático \(\sim(2\kappa\xi)^{2}\sim10^{-24}\); ningún experimento de este tipo es relevante.
• Un resultado nulo en variación de \(\alpha_{\rm em}\). El acoplo conforme no la produce. Es una predicción del modelo, no un riesgo.
• Un resultado nulo en \(\dot G/G\). Idem.
• La ausencia de anomalías en el CMB. El modelo no predice ninguna (§16.4).
• La confirmación de \(\Lambda\)CDM con \(w=-1\) exacto. Refutaría solo la identificación de \(\theta\) con la energía oscura (vía C), no el sector local.

19.6 Análisis de riesgo: ¿es un programa progresivo?

Aplicando el criterio de Lakatos, un programa es progresivo si sus modificaciones predicen hechos nuevos. Evaluemos las modificaciones introducidas en esta tesis:

Cinco de seis modificaciones son progresivas o neutras. La sexta es la que el compromiso del §19.4 prohíbe explícitamente. Con esa prohibición vigente, el programa reformulado es progresivo en el sentido técnico de Lakatos.

19.7 Calendario de decisión

Obsérvese que la refutación de nivel 2 llega antes y con menos condiciones que la de nivel 1: la prueba P2 mide una razón adimensional inmune a la degeneración con \(GM_\odot\), mientras que P1 depende de una mejora independiente de las efemérides planetarias. En términos de estrategia de investigación, esto significa que el rasgo distintivo del modelo —el apantallamiento— es más fácil de matar que su amplitud. Es un buen diseño experimental: se ataca primero lo que es propio de la hipótesis, no lo que comparte con sus competidoras.

19.8 Conclusión del capítulo

El modelo twin, en su formulación original, era técnicamente falsable pero prácticamente inmune: sus valores fiduciales quedaban siete órdenes de magnitud por debajo de cualquier instrumento. Reformulado como familia parametrizada con criterios de refutación preinscritos, se convierte en un programa contrastable con un calendario definido y un punto final claro.

La fecha en que el asunto se decide, si el programa experimental avanza según lo previsto, es alrededor de 2040 para el nivel 2 (apantallamiento) e igual o posterior para el nivel 1 (amplitud), condicionado a la mejora de las efemérides. Hasta entonces, cada avance experimental recorta el espacio de parámetros de forma predecible, y ese recorte es el contenido empírico del programa.

Viaje temporal y conservación multiversal: análisis de una conjetura no falsable

20.1 La conjetura original

El preprint v7 y la página web asociada formulan, en su sección final, la siguiente cadena de razonamiento:

Si el twin decrece con la expansión (\(\beta_{\rm cos}\downarrow\)), el ritmo global cambia irreversiblemente. Viajar al pasado requeriría inyectar twin (elevar \(\beta_{\rm cos}\) a valores pretéritos); viajar más rápido al futuro implicaría extraer twin adicional. Postulamos un principio de conservación multiversal del twin: cualquier alteración en nuestro universo demandaría un balance opuesto en otro, llevando en el límite a la destrucción del universo donante. Bajo esta hipótesis, los viajes temporales quedarían prohibidos sin consecuencias catastróficas externas.

La estructura del argumento tiene tres eslabones: (i) el twin es un recurso; (ii) los recursos se conservan; (iii) la conservación se extiende a un conjunto de universos. Examinemos cada uno.

20.2 Eslabón 1: ¿es el twin un recurso?

El primer problema es de categoría. En la formulación desarrollada en esta tesis, el twin es un campo escalar, no un recurso. Un campo tiene un valor en cada punto, una densidad de energía y una dinámica; no tiene una «cantidad total» conservada salvo que exista una simetría que la genere.

¿La hay? El teorema de Noether asocia leyes de conservación a simetrías continuas de la acción (7.1). Las simetrías presentes son:

• Difeomorfismos: conservación del tensor energía-momento total (7.6). Sí existe.
• Traslación en \(\theta\) (\(\theta\to\theta+c\)): existiría solo si \(V(\theta)\) y \(A(\theta)\) fueran constantes. Pero el postulado P4 exige que \(A\) tenga un extremo, lo que rompe esta simetría explícitamente.

Esta refutación es interna. No apela a la observación ni a criterios filosóficos: la conjetura contradice la estructura matemática de la teoría que pretende extender.

20.3 Eslabón 2: ¿permitiría el modelo viajar en el tiempo?

Supongamos, en aras del argumento, que existiera un mecanismo para modificar \(\beta_{\rm cos}\) localmente. ¿Produciría eso viaje temporal?

No. Y la razón es el teorema 10.1 del capítulo 10.

El viaje al pasado, en el sentido físico, requiere una curva temporal cerrada: una línea de universo que regrese a su propio pasado causal. Su existencia depende de la estructura causal del espacio-tiempo, es decir, de la disposición de los conos de luz. Y una transformación conforme \(\tilde g=A^{2}g\) con \(A>0\) preserva exactamente los conos de luz (§9.6).

La confusión de fondo es entre ritmo y dirección. Que los relojes vayan más despacio no acerca a nadie al pasado; solo cambia cuántos tics separan dos sucesos. Incluso en el límite extremo \(\beta\to0\) —donde los relojes se detendrían— el orden causal se mantiene intacto.

20.4 Eslabón 3: la conservación multiversal

El tercer eslabón es el que sitúa la conjetura fuera del ámbito científico, y conviene ser preciso sobre por qué.

La afirmación «el twin total es un recurso conservado a nivel multiversal» tiene la forma lógica de una ley de conservación, pero carece de sus dos propiedades esenciales:

(a) No especifica el dominio. ¿Sobre qué conjunto se suma? La literatura de multiversos distingue al menos cuatro niveles Tegmark, 2003: regiones más allá del horizonte, burbujas de inflación eterna, ramas de la interpretación de Everett y estructuras matemáticas. La conjetura no elige ninguno, y las cuatro opciones tienen implicaciones incompatibles entre sí.

(b) No es contrastable ni siquiera en principio. Una ley de conservación se pone a prueba midiendo la cantidad en todos los subsistemas. Si algunos subsistemas son inaccesibles por construcción —otros universos, sin canal causal—, la ley no puede verificarse ni falsarse. No es una hipótesis errónea: es una proposición sin condiciones de verdad operativas.

20.5 Lo que sí dice el modelo sobre la flecha del tiempo

Hay una versión débil y defendible de la intuición original que merece rescatarse.

El modelo introduce, a través de \(\beta_{\rm cos}(a)\), una monotonía cósmica: el ritmo de todos los relojes materiales decrece de forma estrictamente monótona con el factor de escala. Esto proporciona, en principio, un «marcador» global de la dirección temporal, análogo al que proporcionan la entropía o la expansión misma.

La afirmación defendible es: si \(\beta_{\rm cos}\) fuera medible, proporcionaría un reloj cósmico absoluto —una función monótona del tiempo cósmico determinable localmente—. Eso sería interesante: implicaría que el «ahora» cósmico es una cantidad físicamente definida, no convencional.

La afirmación no defendible es que eso tenga algo que ver con el viaje temporal. Y, en cualquier caso, el teorema 10.1 elimina incluso la versión débil: \(\beta_{\rm cos}\) universal no es medible localmente. No hay reloj cósmico absoluto. La monotonía existe en las ecuaciones pero no en los observables.

20.6 Reformulación mínima de la intuición

¿Puede salvarse algo? Sí, una versión considerablemente más modesta:

Como ejercicio, puede estimarse el coste energético. Elevar \(\beta_{\rm cos}\) en una región de volumen \(V\) desde su valor actual hasta el que tenía a redshift \(z\) requiere desplazar el campo en \(\Delta\theta\approx\chi[1-(1+z)^{-p}]M_{\rm Pl}/\alpha_{\theta}\), con un coste energético del orden de

Con \(m_{\theta}\sim H_{0}\), \(\Delta\theta\sim\chi M_{\rm Pl}/\alpha_{\theta}\) y \(V\sim(1\ \mathrm{m})^{3}\), la estimación da \(E\sim10^{-16}\) J para los valores fiduciales: una cantidad ridículamente pequeña. Y sin ningún efecto observable, porque el campo se relajaría de vuelta en un tiempo \(\sim m_{\theta}^{-1}\sim H_{0}^{-1}\) y porque, en todo caso, un cambio universal es calibre.

El resultado es anticlimático y por eso mismo instructivo: manipular el «twin» no cuesta casi nada y no sirve para nada. La imagen de un recurso cósmico escaso cuya extracción destruiría universos no tiene apoyo en el formalismo.

20.7 Demarcación

20.8 Sobre el valor de la especulación

Sería fácil, y perezoso, descartar el capítulo entero como fantasía. Conviene una valoración más matizada.

La intuición que subyace a la conjetura —que un cambio en el ritmo del tiempo debe «costar» algo, y que ese coste debe contabilizarse en algún balance— es una intuición física correcta. Se formaliza, dentro del modelo, en la ecuación (7.6): el intercambio de energía entre el campo y la materia. El error no está en la intuición sino en su extrapolación a un dominio (otros universos) donde el balance no puede escribirse.

Es un error de tipo reconocible: tomar una analogía correcta en su dominio y extenderla más allá del punto donde el formalismo la sostiene. La disciplina que evita ese error consiste, precisamente, en escribir el formalismo y comprobar hasta dónde llega. Esa es la función que este capítulo, y esta tesis en su conjunto, han intentado cumplir.

Limitaciones, amenazas a la validez y trabajo futuro

Todo trabajo tiene puntos débiles. Enumerarlos con precisión es parte del trabajo, no una concesión. Este capítulo reúne las once limitaciones identificadas, ordenadas por gravedad.

21.1 Limitaciones del modelo

21.2 Limitaciones de la derivación

21.3 Limitaciones metodológicas de esta tesis

21.4 Amenazas a la validez

El residuo «medio» en la validez estadística merece comentario. La ecuación (15.3) supone ruido blanco de frecuencia hasta tiempos de integración de \(\sim\!2\times10^{7}\) s (216 días). En la práctica, los relojes ópticos muestran un suelo de flicker a partir de \(\sim\!10^{4}\)–\(10^{5}\) s, tras el cual \(\sigma_{y}(\tau)\) deja de decrecer como \(\tau^{-1/2}\). Si ese suelo se sitúa por encima de \(4\times10^{-19}\), el experimento del capítulo 15 no funcionaría por mucho que se integre.

21.5 Trabajo futuro: prioridades

21.6 Lo que este trabajo no ha hecho

Por claridad, se enumera explícitamente lo que queda fuera del alcance de esta tesis:

• No se ha demostrado que el modelo sea correcto. No hay evidencia a favor.
• No se ha derivado el modelo desde teoría de cuerdas. Solo se ha mostrado que su fenomenología es la de una clase de teorías motivadas por cuerdas.
• No se ha realizado ningún experimento. Todos los datos empleados son de terceros y están publicados.
• No se ha resuelto ninguna anomalía observacional, porque no existe ninguna en el canal considerado.
• No se ha construido una teoría cuántica del campo \(\theta\) más allá de estimar el corte ultravioleta y las correcciones radiativas.
• No se han considerado efectos de segundo orden PPN, irrelevantes dado el tamaño del acoplo.
• No se ha modelado la dependencia con el espín del cuerpo central (métrica de Kerr en lugar de Schwarzschild). Para el régimen no apantallado la corrección es despreciable; para el campo fuerte sería relevante, pero ese régimen ya se descartó como inobservable.

21.7 Balance de limitaciones

Cinco de las once están mitigadas total o parcialmente en este trabajo. De las seis restantes, tres (L3, L6, L7) son compartidas con toda la literatura de teorías escalar-tensoriales y no distinguen negativamente al modelo. Las tres específicas —L8, L9, L10— definen el programa de trabajo inmediato.

Conclusiones

Qué se preguntó, qué se ha respondido y qué queda. Este capítulo cierra el ciclo abierto en el §1.4 respondiendo, una a una, las seis preguntas de investigación.

22.1 Respuestas a las preguntas de investigación

22.2 Los doce resultados originales

22.3 El modelo, reformulado

Como resultado del trabajo, el modelo twin puede enunciarse en su forma mínima y contrastable:

Compárese con la versión original: cuatro parámetros, dos de ellos vacíos; valores fiduciales siete órdenes por debajo de toda sensibilidad; una patología en el futuro; y un apéndice metafísico sobre multiversos. La reformulación conserva la física y descarta lo demás.

22.4 Qué se ha aprendido, más allá del modelo

Tres lecciones trascienden el caso particular.

Primera: el análisis de degeneraciones debe preceder al cálculo. Se dedicaron considerables recursos, en el preprint original, a tabular cantidades que el teorema 10.1 demuestra inobservables. Preguntar «¿es esto medible?» antes de «¿cuánto vale?» habría reorientado el trabajo desde el principio. Es una disciplina barata y de alto rendimiento.

Segunda: nunca calcular una diferencia pequeña como resta de números grandes. El artefacto del capítulo 11 destruyó silenciosamente cinco órdenes de magnitud de señal y produjo una tabla de ceros que invitaba a una conclusión física falsa. El error no generó ningún aviso. La única defensa es estructural: hacer el álgebra antes de programar.

Tercera: la demarcación es un servicio a la propia propuesta. Separar el núcleo contrastable del envoltorio especulativo no debilita la idea; la hace evaluable. Un preprint que mezcla \(\alpha_{\rm LPI}\) con conservación multiversal invita a que el lector descarte ambos. Uno que los separa permite juzgar cada uno por su mérito.

22.5 Veredicto final

22.6 Coda

La pregunta con que se abrió este trabajo —por qué un reloj tiene ritmo— sigue sin respuesta. El modelo twin no la responde: desplaza el ritmo desde un postulado hacia un campo escalar cuyo origen queda igualmente sin explicar. Es un desplazamiento, no una reducción.

Pero el desplazamiento tiene una virtud: convierte una pregunta metafísica en una cantidad medible. Antes había un postulado; ahora hay un número, \(\alpha_{\rm LPI}\), que vale cero en la Relatividad General y que puede medirse. Si vale cero con precisión suficiente, el modelo muere y la pregunta vuelve a su estado original. Si no vale cero, habremos aprendido algo.

Esa transformación —de pregunta a número— es lo que la física puede hacer con una intuición. No garantiza que la intuición sea correcta; garantiza que podamos averiguarlo.

Derivaciones detalladas

A.1 Variación de la acción respecto de la métrica

Partimos de (7.1). La variación del término de Einstein–Hilbert es estándar:

Para el sector escalar, usando \(\delta\sqrt{-g}=-\tfrac{1}{2}\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\):

Definiendo \(T^{(m)}_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{m}}{\delta g^{\mu\nu}}\) y anulando la variación total se obtiene (7.2) con (7.3).

A.2 Variación respecto del campo \(\theta\)

El acoplo aparece únicamente a través de \(\tilde g_{\mu\nu}=A^{2}(\theta)g_{\mu\nu}\). Por la regla de la cadena:

Usando \(\sqrt{-\tilde g}=A^{4}\sqrt{-g}\) y \(\tilde T^{\mu\nu}=A^{-6}T^{\mu\nu}\) (peso conforme del tensor energía-momento con índices arriba), y contrayendo con \(g_{\mu\nu}\):

Combinando con la variación del sector escalar libre, \(\sqrt{-g}\left(\Box\theta-V'\right)\), y anulando el total, se obtiene (7.4).

A.3 Solución de la ecuación de flujo del acoplo

La ecuación (6.2) es lineal de primer orden y separable:

Integrando la definición \(\alpha=-d\ln A/d\Phi\) con \(A(0)=1\):

Con \(\kappa\equiv\alpha_{0}/(2\xi)\) y \(A=e^{\ln A}\simeq1+\ln A\) para \(\kappa\ll1\), se llega a (6.5). El error cometido en la última aproximación es \(O(\kappa^{2})=O(10^{-24})\).

A.4 Expansión del ritmo efectivo en campo débil

Partimos de \(d\tau/dt=\sqrt{1-2\Phi}\,\beta_{\rm loc}(\Phi)\). Expandiendo cada factor:

El producto, a segundo orden:

El coeficiente de \(\Phi\) da directamente \(\alpha_{\rm LPI}=2\kappa\xi\). El coeficiente de \(\Phi^{2}\) sería, en principio, un observable adicional, pero para \(\kappa\xi\sim10^{-12}\) su desviación respecto de \(-1/2\) es \(\sim10^{-12}\Phi^{2}\), es decir, \(\sim10^{-31}\) en la Tierra: irremediablemente inobservable.

A.5 Extremo del \(|\Delta\tau|\) en campo fuerte

Sea \(f(\Phi)=\sqrt{1-2\Phi}\left(1-e^{-2\xi\Phi}\right)\). Derivando:

Anulando y multiplicando por \(\sqrt{1-2\Phi}\):

que es (14.2). Para \(\xi=1\), sustituyendo \(u=2\Phi\):

Resolviendo por bisección en \([0{,}001,\,0{,}9998]\) con 200 iteraciones a 60 dígitos: \(u^{*}=0{,}594\,204\,958\,5\), de donde \(\Phi^{*}=0{,}297\,102\,479\,25\) y \((r/r_{s})^{*}=1/(2\Phi^{*})=1{,}682\,920\,995\).

Verificación: \(e^{-0{,}5942}(3-0{,}5942\cdot2)=0{,}5520\times1{,}8116=1{,}0000\). ✓

A.6 Derivación de la ley de dilatación cosmológica

Se detalla el cálculo del §16.1 con las hipótesis explícitas.

Hipótesis H1. El proceso emisor tiene una duración fija \(\Delta\tau_{\rm int}\) medida en el tiempo propio local del emisor.

Hipótesis H2. El tiempo propio local se relaciona con el tiempo cósmico coordenado por \(d\tau=\beta_{\rm cos}(a)\,dt\).

Hipótesis H3. La propagación de la luz obedece la métrica de Einstein, de modo que intervalos de tiempo coordenado se estiran como \(\Delta t_{0}=(1+z)\Delta t_{e}\).

De H1 y H2 en el emisor: \(\Delta t_{e}=\Delta\tau_{\rm int}/\beta_{\rm cos}(a_{e})\). De H3: \(\Delta t_{0}=(1+z)\Delta\tau_{\rm int}/\beta_{\rm cos}(a_{e})\). De H2 en el observador: \(\Delta\tau_{\rm obs}=\beta_{\rm cos}(1)\Delta t_{0}\). Componiendo se obtiene (16.4).

Linealizando en \(\chi\):

de donde \(b-1=-\chi(1-a^{p})/\ln(1+z)\), que es (16.6). Invirtiendo:

Evaluando en \(z=1\), \(p=1\), \(|b-1|=0{,}022\): \(\chi=0{,}022\times0{,}693147/0{,}5=3{,}0499\times10^{-2}\).

A.7 Cota superior sobre \(\kappa\) en función de \(\xi\)

Un experimento con dos relojes a potenciales \(\Phi_{A}>\Phi_{B}\) mide la razón entre la desviación observada y la predicción de la Relatividad General. La señal del modelo es

y la de la Relatividad General, a primer orden, \(S_{\rm GR}=\Phi_{A}-\Phi_{B}\). La cota experimental \(|S/S_{\rm GR}|<\alpha_{\max}\) da (17.2).

Límite no apantallado. Si \(2\xi\Phi_{A}\ll1\), entonces \(e^{-2\xi\Phi_{B}}-e^{-2\xi\Phi_{A}}\simeq2\xi(\Phi_{A}-\Phi_{B})\) y

es decir \(\kappa\xi<\alpha_{\max}/2\): la cota depende solo del producto, como exige el corolario 10.3.

Límite apantallado. Si \(2\xi\Phi_{B}\gg1\), ambas exponenciales tienden a cero y \(\kappa_{\max}\to\infty\): el experimento pierde sensibilidad. El umbral de la zona ciega se sitúa donde el denominador cae por debajo de, digamos, el 10 % de su valor no apantallado, lo que ocurre para \(\xi\gtrsim2{,}3/(2\Phi_{B})\).

A.8 Estabilidad del atractor

Sea \(\ln A(\theta)=\ln A_{*}+\tfrac{1}{2}\beta_{*}u^{2}\) con \(u=\theta-\theta_{*}\). Entonces \(\alpha_\theta=d\ln A/d\theta=\beta_{*}u\), y la ecuación (8.1) en el vacío del potencial es

Con \(H\) y \(\rho_{m}\) lentamente variables, la solución es \(u\propto e^{\lambda t}\) con

Si \(\beta_{*}>0\), ambas raíces tienen parte real negativa y \(u\to0\): el atractor es estable. Si \(\beta_{*}<0\), la raíz \(\lambda_{+}\) es positiva y la perturbación crece exponencialmente. Luego la condición de estabilidad es \(\beta_{*}>0\), equivalente a \(\xi>0\).

A.9 Tiempo de integración para una detección a \(n\sigma\)

Sea una serie de \(N\) medidas independientes de la diferencia de frecuencia fraccional, cada una con desviación típica \(\sigma_{1}\) sobre un intervalo de 1 s. Bajo ruido blanco, la media de \(N=T\) muestras tiene desviación \(\sigma_{1}/\sqrt{T}\equiv\sigma_{y}(T)\). Imponiendo

Ejemplo numérico. Para \(n=5\), \(\sigma_{0}=3{,}5\times10^{-16}\), \(S=4{,}0476\times10^{-19}\):

A.10 Análisis de propagación de error en la resta en binary64

Sea \(x=T\sqrt{1-2\Phi}\) y \(y=x\,\beta_{\rm loc}\). En aritmética de coma flotante con redondeo al más próximo y épsilon de máquina \(\varepsilon=2^{-53}\approx1{,}11\times10^{-16}\), los valores almacenados son \(\hat x=x(1+\delta_{1})\) e \(\hat y=y(1+\delta_{2})\) con \(|\delta_{i}|\le\varepsilon\).

La resta calculada es

El error absoluto es \(\lesssim2x\varepsilon\approx2\times86400\times1{,}11\times10^{-16} =1{,}92\times10^{-11}\) s. El error relativo respecto de \(\Delta\tau\) es

Para la Tierra (\(\kappa\xi\Phi=6{,}96\times10^{-22}\)): \(1{,}11\times10^{-16}/6{,}96\times10^{-22}=1{,}6\times10^{5}\). El error relativo excede la unidad en cinco órdenes de magnitud: no queda ninguna cifra significativa. Para el agujero negro a \(r/r_{s}=1{,}1\) (\(\kappa\xi\Phi=4{,}55\times10^{-13}\)): \(2{,}4\times10^{-4}\), es decir, cuatro cifras correctas — coherente con que las tablas de campo fuerte del preprint sí dieran valores razonables.

La condición para que la resta ingenua conserve al menos una cifra significativa es

que corresponde a \(r/r_{s}<4500\). Los agujeros negros tabulados (\(q=1{,}1\) y \(q=5\)) cumplen holgadamente; la Tierra (\(\Phi=7\times10^{-10}\)) y el Sol (\(\Phi\le2\times10^{-6}\)) no. Esto reproduce exactamente el patrón de ceros observado en las tablas v7.

A.11 Estimación del coste energético de modificar el campo

Para el §20.6. La energía almacenada en una configuración desplazada del campo, en un volumen \(V\) y con desplazamiento \(\Delta\theta\), es del orden de

si la escala de variación es del orden de la longitud Compton. Con \(\ln A=-\chi\) y \(\ln A=-\alpha_\theta\Delta\theta/M_{\rm Pl}\), se tiene \(\Delta\theta=\chi M_{\rm Pl}/\alpha_\theta\). Para \(\chi=10^{-10}\), \(\alpha_\theta=2\times10^{-12}\): \(\Delta\theta=50\,M_{\rm Pl}\). Con \(m_{\theta}=H_{0}\hbar/c^{2}=1{,}5\times10^{-33}\) eV y \(V=1\ \mathrm{m^{3}}\):

tras conversión de unidades. La estimación es de orden de magnitud y su único propósito es mostrar que no hay ninguna barrera energética significativa, en contra de lo que sugiere la conjetura del §20.1.

Código reproducible

Todo valor numérico de esta tesis se obtiene ejecutando los cuatro programas descritos aquí. Solo requieren Python 3.7 o superior y la biblioteca estándar: no hay dependencias externas, deliberadamente, para maximizar la reproducibilidad a largo plazo.

B.1 Estructura de ficheros

tesis/
├── codigo/
│   ├── twin_core.py        · núcleo de cálculo (Decimal, 60 dígitos)
│   ├── generar_tablas.py   · produce los 18 conjuntos de datos → ../datos/*.csv
│   ├── svg_plot.py         · motor de gráficos SVG sin dependencias
│   ├── generar_figuras.py  · produce las 25 figuras → ../figuras/*.svg
│   └── build.py            · compila el HTML final
├── capitulos/              · fragmentos HTML del texto
├── datos/                  · CSVs generados
├── figuras/                · SVGs generados
└── index.html              · tesis compilada

Reproducción completa desde cero:

cd tesis/codigo
python generar_tablas.py     # 18 CSV de datos
python generar_figuras.py    # 25 figuras
python build.py              # HTML final

B.2 Núcleo de cálculo: constantes y funciones básicas

from decimal import Decimal as D, getcontext
getcontext().prec = 60

C_LIGHT   = D("299792458")            # m/s   (exacta por definición SI)
G_NEWTON  = D("6.67430E-11")          # m^3 kg^-1 s^-2 (CODATA 2018)
DAY       = D("86400")                # s
GM_EARTH  = D("3.986004418E14")       # m^3/s^2 (WGS-84)
R_EARTH   = D("6371000")              # m (radio medio volumétrico)
GM_SUN    = D("1.32712440018E20")     # m^3/s^2 (IAU 2015)
R_SUN     = D("6.957E8")              # m
AU        = D("1.495978707E11")       # m (exacta, IAU 2012)
H0_SI     = D("2.1927E-18")           # s^-1 (H0 = 67,66 km/s/Mpc)

KAPPA_FID = D("1E-12")   # amplitud conforme total
XI_FID    = D("1.0")     # tasa de apantallamiento
CHI_FID   = D("1E-10")   # amplitud cosmológica
P_FID     = D("1.0")     # índice cosmológico


def phi(gm, r):
    """Potencial newtoniano adimensional Phi = GM/(r c^2)."""
    return D(gm) / (D(r) * C_LIGHT * C_LIGHT)


def phi_from_ratio(r_over_rs):
    """Phi a partir de r/rs. Phi = 1/(2 r/rs). Invariante de escala."""
    return D(1) / (D(2) * D(r_over_rs))


def rate_gr(Ph):
    """Factor de Schwarzschild sqrt(1 - 2 Phi)."""
    return (D(1) - D(2) * Ph).sqrt()


def beta_loc(Ph, kappa=KAPPA_FID, xi=XI_FID):
    """beta_loc = 1 - kappa (1 - e^{-2 xi Phi})."""
    return D(1) - D(kappa) * (D(1) - (-D(2) * D(xi) * Ph).exp())


def beta_cos(a, chi=CHI_FID, p=P_FID):
    """beta_cos = 1 - chi a^p."""
    a = D(a)
    ap = a if p == D(1) else (D(p) * a.ln()).exp()
    return D(1) - D(chi) * ap

B.3 El observable, por dos vías independientes

Esta es la parte crítica: la primera función evita la cancelación catastrófica por construcción; la segunda la sufre, pero con 60 dígitos disponibles quedan \(\sim\!44\) correctos, lo que permite validar la primera.

def delta_tau_closed(Ph, T=DAY, kappa=KAPPA_FID, xi=XI_FID):
    """
    Forma cerrada SIN cancelación:
        Delta tau = -T sqrt(1-2Phi) kappa (1 - e^{-2 xi Phi})
    """
    return -D(T) * rate_gr(Ph) * D(kappa) * (D(1) - (-D(2) * D(xi) * Ph).exp())


def delta_tau_hp(Ph, T=DAY, kappa=KAPPA_FID, xi=XI_FID):
    """Resta directa en Decimal-60: control de la forma cerrada."""
    return D(T) * rate_gr(Ph) * beta_loc(Ph, kappa, xi) - D(T) * rate_gr(Ph)


def delta_tau_float64_naive(Ph, T=86400.0, kappa=1e-12, xi=1.0):
    """
    Reproducción EXACTA del procedimiento del preprint v7 en float64.
    Devuelve 0.0 para todo Phi < ~3e-4: documenta el artefacto.
    """
    import math
    ph = float(Ph)
    gr = math.sqrt(1.0 - 2.0 * ph)
    bl = 1.0 - kappa * (1.0 - math.exp(-2.0 * xi * ph))
    return (T * gr * bl) - (T * gr)

B.4 Observables derivados

def alpha_lpi(Ph, kappa=KAPPA_FID, xi=XI_FID):
    """
    Parámetro LPI efectivo: alpha(Phi) = 2 kappa xi e^{-2 xi Phi}.
    Firma primaria del modelo. En RG vale 0 en todo Phi.
    """
    return D(2) * D(kappa) * D(xi) * (-D(2) * D(xi) * Ph).exp()


def signal_differential(Ph_a, Ph_b, kappa=KAPPA_FID, xi=XI_FID):
    """
    Señal fraccional A/B: el ÚNICO observable local (teorema 10.1).
        S = kappa (e^{-2 xi Phi_b} - e^{-2 xi Phi_a})
    """
    ea = (-D(2) * D(xi) * D(Ph_a)).exp()
    eb = (-D(2) * D(xi) * D(Ph_b)).exp()
    return D(kappa) * (eb - ea)


def time_to_5sigma(signal, sigma0=D("3.5E-16"), nsigma=D(5)):
    """T = (n sigma0 / S)^2 segundos, para ruido blanco de frecuencia."""
    s = abs(D(signal))
    if s == 0:
        return None
    x = D(nsigma) * D(sigma0) / s
    return x * x


def kappa_max_allowed(xi, Ph_a, Ph_b, alpha_bound):
    """
    Cota superior sobre kappa dado xi, a partir de una cota experimental
    alpha_bound medida entre los potenciales Ph_a (profundo) y Ph_b (somero).
        kappa < alpha_bound (Phi_a - Phi_b) / (e^{-2 xi Phi_b} - e^{-2 xi Phi_a})
    """
    xi = D(xi); Ph_a, Ph_b = D(Ph_a), D(Ph_b)
    denom = (-D(2) * xi * Ph_b).exp() - (-D(2) * xi * Ph_a).exp()
    if denom == 0:
        return None
    return D(alpha_bound) * (Ph_a - Ph_b) / denom

B.5 Sector cosmológico

def time_dilation_exponent(z, chi=CHI_FID, p=P_FID):
    """
    Exponente b en Delta tau_obs = Delta tau_int (1+z)^b:
        b = 1 + ln[beta_cos(a_0)/beta_cos(a_e)] / ln(1+z)
    Como a_e < 1 y beta_cos crece hacia el pasado, resulta b < 1.
    """
    z = D(z)
    if z == 0:
        return D(1)
    a = D(1) / (D(1) + z)
    num = (beta_cos(D(1), chi, p) / beta_cos(a, chi, p)).ln()
    return D(1) + num / (D(1) + z).ln()


def chi_bound_from_exponent(delta_b, z=D(1), p=P_FID):
    """chi < |b-1| ln(1+z) / (1 - a^p)."""
    z = D(z)
    a = D(1) / (D(1) + z)
    ap = a if p == D(1) else (D(p) * a.ln()).exp()
    return D(delta_b) * (D(1) + z).ln() / (D(1) - ap)


def clock_drift_today(chi=CHI_FID, p=P_FID, H0=H0_SI):
    """d ln beta_cos/dt = -p chi H0 en a=1. NO es observable (teorema 10.1)."""
    return -D(p) * D(chi) * D(H0) / (D(1) - D(chi))

B.6 Búsqueda del extremo en campo fuerte

def strong_field_extremum(xi=XI_FID, lo=D("0.001"), hi=D("0.4999"), it=200):
    """
    Bisección sobre  2 xi e^{-2 xi Phi} (1-2Phi) = 1 - e^{-2 xi Phi}.
    Devuelve (Phi*, (r/rs)*).  Para xi=1: (0.29710247925, 1.682920995).
    """
    def g(Ph):
        e = (-D(2) * D(xi) * Ph).exp()
        return D(2) * D(xi) * e * (D(1) - D(2) * Ph) - (D(1) - e)
    a, b = D(lo), D(hi)
    for _ in range(it):
        m = (a + b) / D(2)
        if g(a) * g(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    Ph = (a + b) / D(2)
    return Ph, D(1) / (D(2) * Ph)

B.7 Verificación

El programa generar_tablas.py incluye un bloque de verificación cruzada que compara las dos vías de cálculo sobre cinco configuraciones de prueba abarcando veinte órdenes de magnitud en \(\Phi\). Salida esperada:

[T12] Verificacion cruzada forma cerrada vs resta en Decimal-60
  Phi=6.9613E-10  cerrada=-1.202908246888E-16  resta=-1.202908246888E-16  |dif.rel|=4.972E-40
  Phi=9.8706E-9   cerrada=-1.705644608299E-15  resta=-1.705644608299E-15  |dif.rel|=5.011E-42
  Phi=4.5455E-1   cerrada=-1.555505355020E-8   resta=-1.555505355020E-8   |dif.rel|=1.872E-48
  Phi=5.0000E-3   cerrada=-8.553850920029E-10  resta=-8.553850920029E-10  |dif.rel|=2.071E-48
  Phi=1.0000E-20  cerrada=-1.728000000000E-27  resta=-1.728000000000E-27  |dif.rel|=1.000E-40
  Discrepancia relativa maxima: 4.972E-40  (limitada por prec=60 digitos)

Y la verificación del teorema de invariancia de escala:

  Verificacion de invariancia de escala (mismo r/rs, masas distintas):
    BH estelar 10 Msol       rs=2.953339E+4 m   Phi=4.545454545455E-1  dtau=-1.555505355020E+1 ns/dia
    SMBH Sgr A* 4.1e6 Msol   rs=1.210869E+10 m  Phi=4.545454545455E-1  dtau=-1.555505355020E+1 ns/dia
    UMBH 6.5e9 Msol (M87*)   rs=1.930802E+13 m  Phi=4.545454545455E-1  dtau=-1.555505355020E+1 ns/dia

B.8 Motor de figuras

El módulo svg_plot.py implementa un generador de gráficos vectoriales sin dependencias. Se optó por escribirlo en lugar de usar una biblioteca externa por tres razones: (i) las figuras resultantes son SVG puro, inlineable y de tamaño mínimo; (ii) los colores se heredan del tema de la página mediante variables CSS, de modo que las figuras se adaptan automáticamente a modo claro y oscuro; (iii) elimina toda dependencia de versión, lo que preserva la reproducibilidad a largo plazo.

Interfaz principal:

fig = Fig(width=800, height=430, title="...", xlabel="...", ylabel="...",
          xscale="log", yscale="log", xlim=(a,b), ylim=(c,d), legend_pos="tr")
fig.line(xs, ys, label="...", cls="s1", dash="5 4")
fig.scatter(xs, ys, label="...", cls="s2", marker="d")
fig.hline(y, label="...", cls="s3")
fig.hband(y0, y1, cls="s6", opacity=0.15, label="...")
fig.annot(x, y, "texto", dx=8, dy=-8)
fig.note(px, py, "texto en coordenadas relativas")
svg = fig.render()

B.9 Licencia y disponibilidad

El código se publica bajo licencia MIT. El texto de la tesis, bajo Creative Commons BY 4.0. Ambos están disponibles en el directorio del proyecto y son íntegramente reproducibles sin conexión a internet.

Tablas numéricas íntegras

Reproducción completa de los datos generados por generar_tablas.py. Todos los valores están calculados con aritmética decimal de 60 dígitos significativos. Los ficheros CSV originales acompañan a este documento en tesis/datos/.

C.1 Campo terrestre

C.2 Campo solar

C.3 Campo fuerte

C.4 Sector cosmológico

C.5 Cotas y exclusión

C.6 Diseño experimental

C.7 Barridos densos (datos de las figuras)